¿Qué es tan especial acerca de la desigualdad de Schwarz?

Question

Estoy estudiando Spivak del Cálculo y los dos primeros conjuntos de problemas tienen más bien largo,pero muy interesante, el trabajo de mínimos de tres pruebas para el Schwarz Desigualdad:

$$\sum_{i=1}^{n} x_iy_i \leq\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}}$$

Spivak llama a esta desigualdad, el gran-grandaddy de todas las desigualdades, pero deja el asunto. Yo, por supuesto, consultar la wikipedia Schwarz Desigualdad que las listas de muy explicaciones técnicas, pero la página que aparece como incompleta y/o sin la debida referencia. Lo que me lleva a preguntar, en un nivel más básico, ¿qué es tan especial acerca de la Desigualdad de Schwarz?

Answer 1

El Cauchy-Schwarz desigualdad es, de hecho, la Gran Grandaddy de todas las desigualdades. De hecho, considere esto:

1. En el Análisis funcional en Espacios de Hilbert, una vez que se demostró que el CS de la desigualdad, a continuación, usted tiene la "Desigualdad Triangular" y la "Ley del Paralelogramo", y luego a los demás menores desigualdades que más o menos se derivan de ellos, como el de Bessel de las desigualdades, etc...
2. En Geometría Diferencial , ya que es en el interior del producto es en el corazón mismo de la estructura métrica
3. En Álgebra lineal otra vez, ya que es una desigualdad en empaques de producto, usted puede obtener una gran cantidad de resultados a partir de ella.

Así que al final creo que Ésta no es en absoluto una exageración el Cauchy Schwarz desigualdad importancia.