¿Cómo puedo garantizar que $f$ aplicada a la media de los $x$ ' s es igual a la media de $f$ aplicado a todas las $x$ ' s?

Question

Me gustaría saber qué características debe tener una función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ por lo que puedo decir: $$f(\overline{x}) = \overline{f(x)}$ $

$\overline{x}$ como media de lo $x$'s. O, más explícitamente por escrito:

$$f \left (\frac {x_1 + x_2 + \cdots + x_n} {n} \right) = \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)} {n} $$

Gracias de antemano.

Answer 1

Definir $g(x)=f(x)-f(0)$. A continuación, ajuste de $x_2=...=x_n=0$ ver $f(x/n)=f(x)/n+f(0)-f(0)/n$ o, equivalentemente,$g(x/n)=g(x)/n$. Esto implica $g(x+y)=2(g(x+y)/2)=2g((x+y)/2)=2(g(x)+g(y))/2=g(x)+g(y)$.

Además, obtenemos $$g(m/n x)=g(mx)/n=m/n (g(mx)/m)=m/n g(x) $$ para todos los $m,n \in \Bbb N$. Por lo $g(qx)=qg(x)$ por cada positivos racionales $q$. De hecho, esto es válido para cualquier racional $q$ desde $g(-x)+g(x)=g(0)=f(0)-f(0)=0$, lo que implica $g(-qx)=-g(qx)=-qg(x)$.

En general, $g$ puede ser cualquier lineal mapa de $\Bbb R$ $\Bbb R$donde $\Bbb R$ es visto como un $\Bbb Q$ espacio vectorial, pero si la demanda que $f$ es continua, $g(q)=qg(1)=cq$ implica $g(r)=cr$ para cada una de las $r$. Por lo $f(x)=cx+f(0)=cx+b$ son los únicos continua de soluciones.

Answer 2

Dada una función de $f$ con la propiedad $$\etiqueta{P} f\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(x_i) \quad \forall\ n \in \mathbb{N},\ x_1,\ldots, x_n \in \mathbb{R}, $$ hemos creado $$ F(x)=f(x)-f(0). $$ Entonces $$\etiqueta{1} F(0)=0, \quad F\left(\frac{x}{n}\right)=\frac{1}{n}F(x) \quad \forall n \in \mathbb{N},\ x \in \mathbb{R}. $$ Desde $$ 0=F\left(\frac{x-x}{2}\right)=f\left(\frac{x-x}{2}\right)-f(0)=\frac{f(x)+f(-x)-2f(0)}{2}=\frac{F(x)+F(-x)}{2} \quad \forall\ x \in \mathbb{R} $$ tenemos $$\etiqueta{2} F(-x)=-F(x) \quad \forall\ x \in \mathbb{R} $$ Gracias a (1) y (2) obtenemos $$ F\left(\frac{x}{n}\right)=F\left(\frac {x}{-n}\right)=\frac{1}{-n}F(-x)=\frac{1}{n}F(x) \quad \forall n \en\mathbb{N},\ x \in \mathbb{R}. $$ Por lo tanto $$\etiqueta{3} F\left(\frac{x}{m}\right)=\frac{1}{m}F(x),\ F(nx)=nF(x) \quad \forall m \in \mathbb{Z}\setminus\{0\},\ n \in \mathbb{Z},\ x \in \mathbb{R}. $$ Se sigue de (3) que $$\etiqueta{4} F(rx)=rF(x) \quad \forall r \in \mathbb{Q},\ x \in \mathbb{R}. $$ De nuevo, gracias a (3) tenemos $$ F(x+y)=F\left(\frac{2x+2y}{2}\right)=\frac{F(2x)+F(2y)}{2}=F(x)+F(y) \quad \forall\ x \in \mathbb{R}. $$ Por lo tanto, $F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$- lineal mapa, y cualquier función de la forma $f=F+\alpha$ satisface (P), donde: $\alpha$ es una constante real, y $F$ $\mathbb{Q}$- lineal en $\mathbb{R}$.