Límite inferior de orden contables-tipos de conjuntos linealmente ordenados

Question

En la Página 44, teoría de conjuntos, Jech(2006)

(Mostrar) hay, al menos, $\mathfrak{c}$ contables de la orden-tipos de linealmente de conjuntos ordenados. [Para cada secuencia $a = \{ a_n : n \in N\}$ de los números naturales considerar el orden de tipo $\tau_a=a_0+\xi+a_1+\xi+a_2+\dots$ donde $\xi$ es el tipo de orden de los números enteros. Mostrar que si $a \ne b$, luego $\tau_a \ne \tau_b$. ($\mathfrak{c}$ es la cardinalidad de a $R$) ]

En la Página 19, dos conjuntos tienen el mismo tipo de orden, si y sólo si son isomorfos en el sentido de que no es un bijective función de$f$, y tanto $f$ $f^{-1}$ son del orden de preservación. Así que supongo que la respuesta debe ser igual a la cardinalidad del conjunto de los segmentos inicial de al menos incontables ordinal, que es $\omega_1$. Debo haber entendido mal el problema de alguna manera.

Aún más confuso para mí es la sugerencia. Me permiten seguir la convención en Jech del libro de texto:

• $1+\omega=\omega \ne \omega+1$
• $2·\omega=\omega \ne \omega·2 =\omega+\omega$

Puesto que el orden de tipo de números enteros es la suma de los números enteros negativos y el de número natural, que es $\omega·2$ . Entonces tenemos: $\tau_a = (a_0+\omega)+\omega+(a_1+\omega)+……=\omega^2$, que es una función constante, sólo contrario a la inyectiva función, como se muestra.

Answer 1

Voy a usar las $\to$ a representar el tipo de orden de $\omega$ $\leftarrow$ a representar el de $\omega^*$ y los enteros negativos, y voy a usar las $\cdot$ a representar el tipo de orden de $1$. A continuación, el tipo de orden de $3+\xi+2+\xi+0+\xi+1$ puede ser representado así:

$$\cdot\cdot\cdot\leftarrow\to\cdot\cdot\leftarrow\to\leftarrow\to\cdot$$

Más en general, el tipo de orden $\tau_a=a_0+\xi+a_1+\xi+a_2+\xi+\ldots$ tiene este aspecto:

$$\underbrace{\cdot\cdot\ldots\cdot}_{a_0}\leftarrow\to\underbrace{\cdot\cdot\ldots\cdot}_{a_1}\leftarrow\to\underbrace{\cdot\cdot\ldots\cdot}_{a_2}\leftarrow\to\ldots$$

Para cada una de las $k\in\Bbb N$ el último elemento de la $a_k$ sección es identificable por el hecho de que es el $(k+1)$-st elemento de la orden, que no tiene un inmediato sucesor; el primer elemento de la $a_k$ sección es identificable por el hecho de que es el $(k+1)$-st elemento de la orden, que no tiene un predecesor inmediato. Esto significa que cada elemento que no forma parte de una $\xi$ bloque pueden ser identificados individualmente. Ahora utilizar esta idea para demostrar que $\tau_a=\tau_b$ fib $a=b$.

Añadido: pensé que el simbolismo de las flechas se auto-explicativo, pero si no lo es, tal vez estos diagramas serán de ayuda:

$$\underset{\longrightarrow}{0,1,2,3,\ldots}$$

y

$$\underset{\longleftarrow}{\ldots,-4,-3,-2,-1}$$