¿Existen funciones continuas $P$ y $Q$ en [0,1]

Question

¿Existen funciones continuas $P$ y $Q$ en $[0,1]$ tal que $y(t)=sin(t^2)$ es una solución a $y''+Py'+Qy=0$ en $[\frac1n,1]$ para todos $n\geq1$ ?

Encuentro $y'$ y $y''$ y comparamos con la ecuación diferencial dada y encontramos que $P(t)= -1/t$ y que no es continua en [0,1]. Por lo tanto, dicha función $P$ no puede existir.

Es mi concepto correcto . Por favor, ayúdeme a resolver esto también si cualquier otro método. Gracias de antemano.

Answer 1

Su ecuación diferencial da $$(2 t P(t)+2) \cos \left(t^2\right)+\left(Q(t)-4 t^2\right) \sin \left(t^2\right)=0$$ Exigiendo que $(2 t P(t)+2)$ y $\left(Q(t)-4 t^2\right)$ son 0 para todos los $t$ da la solución que ya conoce, con $P(t)=-1/t$ .

Pero, ¿y si no son cero para todos $t$ ? Reordenando un poco $$\frac{\cos \left(t^2\right)}{\sin \left(t^2\right)}=-\frac{Q(t)-4 t^2}{2 t P(t)+2 } $$ El H.I.S. tiene una singularidad en $t=0$ . Suponiendo que $Q(t)$ es continua en $[0,1]$ el denominador en la H.R. debe tener un 0 en $t=0$ lo que no es posible en el caso de los continuos $P(t)$ .