Isomorfismo en subconjunto denso

Question

Me pregunto si se podría hacer. Os quiero enseñar dos % de espacios de Banach $X$y $Y$ son isomorfos. ¿Si es denso en $A$ $X$, y es denso en $B$ $Y$, es suficiente para mostrar que hay un isomorfismo $S : A\to B$ a deducir (que se extiende de manera evidente) que $X$ y $Y$ son isomorfos?

Answer 1

Si $S$ es una isometría lineal, entonces mapas de Cauchy secuencias de Cauchy secuencias, y su inversa. Cada elemento de a $x\in X$ es el límite de una secuencia en $S,$ y la diferencia de cualquiera de las dos secuencias converge a 0. Definir $S(x)$ como el límite de la imagen de dicha secuencia, entonces no es difícil ver que esta definición no depende de la elección de la secuencia. Por otra parte al $S^{-1}$ se extiende a $Y$ en el mismo camino, es fácilmente demostrado ser las dos caras de la inversa de la extensión de la $S.$ Finalmente, la ampliación de $S$ es la norma por la preservación de la continuidad de la norma.