¿Cuál es la importancia de los tres requisitos distinto de cero en la definición de $\varepsilon-\delta$ del límite?

Question

¿Cuáles son las consecuencias de los tres cero requriments en la definición de límite:

$\lim_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \forall$ $\varepsilon>0$, $\exists$ $\delta>0 :\forall$ $x$, $0 < \lvert x-a\rvert <\delta \implies \lvert f(x)-L \rvert < \varepsilon$

Creo que entiendo que:

1. si $0 = \lvert x-a\rvert$ se permitió la definición requeriría $f(x) \approx L$ a $a$ ($\lvert f(a)-L \rvert < \varepsilon$);

2. si $\varepsilon=0$ $\lvert f(a)-L \rvert \le \varepsilon$ se permitió el teorema requeriría $f(x) = L$ cerca de $a$ ( $0 < \lvert x-a\rvert <\delta$ ); y

3. si $\delta=0$ se permitió (y la eliminación de la tautología permitiendo $0 \le \lvert x-a\rvert \le \delta$) la definición se aplica simplemente a cualquier función donde $f(a) = L$, independientemente de lo que sucedió en el barrio de $f(a)$.

Por supuesto, si (2'.) $\varepsilon=0$ se permitió en su propio, el teorema nunca se aplicarán ($\lvert f(a)-L \rvert \nless 0$).

Lo que no me queda claro es sobre [A] las lógicas consecuencias de (3'.) permitiendo $\delta=0$ su propia cuenta, así que:

$\lim_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \forall$ $\varepsilon>0$, $\exists$ $\delta≥0 :\forall$ $x$, $0 < \lvert x-a\rvert <\delta \implies \lvert f(x)-L \rvert < \varepsilon$

y [B] si lo que permite que tanto 1. y 2. sería el equivalente a que requieren continuidad?

Answer 1

(1) queremos incluso requieren definir que $f$ $x=a$. Pensar en $\lim_{x=0}\frac{x^2}{x}$, que nos gustaría tener límite $0$. (2) si permitimos que $\epsilon$ $0$ entonces el valor absoluto siempre no. Es en su idea de (3).

Answer 2

(3), si $\delta = 0$ permitieron la definición se aplicaría a todo: desde $|x-a| < 0$ es imposible, implica todo lo que te gusta.

Answer 3

La pregunta ha sido respondida, pero para la clasificación de las $(2^5 - 1)$ diferentes formas de colocación estricto de las desigualdades por débiles en la definición, la siguiente podría ayudar.

La condición que debe cumplirse es más estrictos para los más pequeños de $\epsilon$. Si permites $\epsilon \geq 0$ no es necesario para la $\forall \epsilon > 0$ cuantificador, uno puede simplemente reemplazar $\epsilon$ $0$ en todas partes en la definición. La fórmula lógica se expresa la condición de que una función sea igual a $L$ en un barrio de $a$, o ser tan estricto, que ninguna función que cumple la condición. Supongamos, entonces, que la fórmula comienza $\forall \epsilon > 0 \dots \quad$. En ese caso no hace ninguna diferencia si en la final de la desigualdad de $|f(x)-L|$ $ < \epsilon$ o $\leq \epsilon$.

La condición que debe cumplirse es menos estrictos para los más pequeños de $\delta$. Si $\delta =0$ es permitido, la $\exists \delta \dots$ puede ser satisfecho si y sólo está satisfecho por $\delta=0$, y nadie puede reemplazar a $\delta$ cero por todas partes en lugar de cuantificar $\delta$. En ese caso se obtiene una condición que es cierto para cada función o la condición de que $f(a)=L$, de acuerdo a si $x=a$ es permitido.

El requisito de que $0 < |x-a| < \delta$ es la que es más natural para modificar. Se define el tipo de barrio de $a$ en el que la convergencia a $L$ se produce. Aquí es un pinchazo en un dos caras de barrio (generalmente para permitir el debate de derivados, donde los ratios de tipo 0/0 aparecen, como $\sin(x)/x$ cerca de $x=a=0$), pero permitiendo $x=a$ da una definición de la continuidad, o que uno puede querer a una cara límites con $ 0 < x-a < \delta$ o $0 < a - x < \delta$. Si $\delta=0$ es permitido, a continuación, el natural vecindario a utilizar sería $0 \leq |x-a| \leq \delta$ pero esto sólo conduciría a un complicado reformulación de "$f(a)=L$". Por último, cambiar la cota superior de a $|x-a| \leq \delta$ no afecta en nada (salvo en el inútil caso de que $\delta=0$ es permitido).

Para resumir, permitiendo $0 \leq |x-a|$ da una definición de continuidad, pero los cambios a cualquiera de las otras desigualdades $\epsilon > 0$, $\delta > 0$, $|x-a| < \delta$ o $|f(x)-L| < \epsilon$ no afecta a la definición, o trivializarlo.