Mostrar que $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n^2}$ existe y es independiente de la elección de $a$

Question

Supongamos $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tiene periodo 1, y para algunos $q\in(0,1)$:

$$|f(x)-f(y)|\leq q|x-y|\quad \forall x,y$$

Deje $g(x)=x+f(x)$, para cualquier $a\in\mathbb{R}$,definir la secuencia siguiente:

$$a_1=a,\quad a_2=g(a_1),\quad a_3=g(a_2),\quad \dots,\quad a_{n+1}=g(a_n)$$

Mostrar que

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n^2}$$

existe y no depende de la elección de $a$.

Yo no sé ni lo que es el enfoque posible, las sugerencias? Gracias!

Answer 1

Esto es no una solución completa. Espero que alguien pueda ayudar a totalmente de la uña hacia abajo.

Será suficiente el uso de Stolz-Cesàro teorema (página 1) por $b_n=2n-1,$ (debido a $\sum_{i=1}^nb_i=n^2$) para mostrar que $\lim_{n\to \infty}\dfrac{a_n}{2n-1} < \infty.$ empleando otra vez la otra forma del teorema (Comentario en la página 2), por lo que será suficiente para demostrar que $\lim_{n\to \infty}\dfrac{a_{n}-a_{n-1}}{(2n-1)-(2n-3)} < \infty$ que es la comprobación de la $ \lim_{n\to \infty} f(a_n) < \infty.$

Sabemos $f$ es de Lipschitz, por lo que es continua. Por lo tanto, se reduce a mostrar que la $\lim_{n\to \infty} a_n < \infty.$, demostrando que la iteración de la secuencia de $g,$ es decir $\{g^n(a)\}_{n \in \mathbb{N} }$ donde $g^n(a)=g(g^{n-1}(a))$ $n$ veces composición de $g$ con sí mismo, tiene un límite. Pero el problema es que $g$ es un no-contratante de Lipschitz, es decir, $|g(x)-g(y)| \leq (q+1)|x-y|$ donde $1<q+1<2$ y esto causa problemas, por supuesto.

El hecho es que no he usado el periódico condición en $f$ todavía, y yo creo que esto debería ayudar a resolver el problema, pero yo no podía entender cómo!