Cómo probar esto para suficientemente grande $n$,las funciones de $x(t)^{i}y(t)^{j},0\le i,j\le n$ son linealmente dependientes

Question

Una curva algebraica en $R^2$ es el locus de cero de un polinomio $f(x,y)$ en dos variables Mediante un polinomio de ruta en $R^2$,nos referimos a una parametrización camino de $x=x(t),y=y(t)$donde $x(t),y(t)$ son polinomios en $t$.

mostrar tha t cada polinomio ruta se encuentra en una verdadera curva algebraica demostrando que, para suficientemente grande $n$,las funciones de $x(t)^{i}y(t)^{j},0\le i,j\le n$ son linealmente dependientes.

Gracias alguien me puede ayudar solución.

y este problema es mi frend me preguntan a mí, yo considero somehours, y no veo la solución,y él dicen que este problema de un libro(Específico el nombre del libro, no me lo diga)

Answer 1

mostrar que cada polinomio ruta se encuentra en una curva algebraica real

Esto se llama implicitization, que es un caso especial de Zariski de cierre. Implementado los algoritmos bases de Groebner, pero para el polinomio plano de curvas de un 'explícita' respuesta es escribir la curva Resultante($x - x(t), y - y(t))=0$ con ambos términos se consideran como polinomios en $t$. Un algoritmo respuesta es eliminar a $t$ desde el par de ecuaciones en variables $x,y,t$, para obtener una ecuación de $x,y$.

por lo suficientemente grande $n$,las funciones de $x(t)^i y(t)^j,0≤i,j≤n$ son linealmente dependientes.

El número de $(i,j)$ $\deg (x^i y^j) \leq n$ es de aproximadamente $Cn^2$, es el número de celosía puntos en un triángulo. Para un gran $n$ este número supera $n+1$, el número máximo de linealmente independientes polinomios en $t$ grado $\leq n$, y no debe ser distinto de cero relación lineal.

El problema parece ser de (Michael) Artin del libro de texto de Álgebra.