¿Es la exclusión de la aditividad incontable un inconveniente de la medida de Lebesgue?

Question

Un amigo y yo estábamos discutiendo sobre la medida de Lebesgue. Intenté ser profundo haciendo los siguientes puntos:

• La geometría analítica ha sido una herramienta fantástica, pero el concepto de representar un "objeto" continuo como una colección de puntos es inherentemente artificioso (con una connotación negativa). Inmediatamente nos encontramos con la paradoja de que un punto no tiene volumen. inmediatamente la paradoja de que un punto no tiene volumen y, sin embargo, un conjunto de muchos puntos tiene volumen.
• La noción de medida de Lebesgue intenta resolver esta tensión esencial tensión permitiendo sólo la aditividad contable de la medida. Pero lo hace pero sólo lo hace desautorizando ciertas operaciones (sumas incontables) que intuitivamente parecen razonables. Como tal, es una herramienta indispensable herramienta indispensable, pero sigue siendo artificiosa a cierto nivel.

Mi amigo contestó diciendo que la aditividad incontable no tiene realmente sentido de todos modos, ya que cualquier suma incontable que converge debe tener co-contados muchos términos cero.

Yo diría que todavía estoy indeciso sobre esta discusión. Hace una buena observación, pero después de todo, es exactamente la adición de innumerables ceros lo que me preocupa, por lo que la noción de que innumerables términos deben ser cero puede no ser una objeción decisiva.

Answer 1

Bueno, puede ser un inconveniente, pero, tomando la vía pragmática, ¿cuál es la alternativa? Si queremos una medida útil que sea invariante de la traslación y dé la longitud de los intervalos, entonces habrá conjuntos de Vitali no medibles. La de Lebesgue sigue pareciendo la mejor medida que podemos obtener.

Tal vez se podría adoptar algún tipo de enfoque de análisis no estándar y declarar que la medida de un punto es un infinitesimal incontablemente pequeño, de modo que incontablemente muchos de ellos suman un número, pero no soy lo suficientemente bueno con estas cosas como para decir nada al respecto.

Answer 2

Tenemos $[0,1] = \bigcup_{x \in [0,1]} \{ x \}$ . ¿Cómo podrías hacer una definición de aditividad incontable que produjera $1 = \sum_{x \in [0,1]} 0$ ?