$\alpha$-computable subconjunto acotado de $\alpha$ $L_\alpha$

Question

Me gustaría probar la proposición 1.12 b de Chong, Técnicas de Admisible la Teoría de la Recursividad:

Deje $\alpha$ ser admisible de ordinal. Un subconjunto $K \subseteq \alpha$ está en $L_\alpha$ ($\alpha$-- ésimo nivel de Goedel del Universo Construible $L$) iff es limitado y tanto $A$ $\alpha - A$ $\Sigma_1$definibles por más de $L_\alpha$.

La dirección de izquierda a derecha es trivial. Pero, ¿qué acerca de la otra dirección. Supongamos que $K \subseteq \gamma < \alpha$ y el tanto $K$ $\alpha - K$ $\Sigma_1$definibles por más de $L_\alpha$. ¿Cómo podría yo demostrar que $K$$L_\alpha$?

Yo estaba pensando en probar que si $\phi$ es una fórmula que define a $K$$L_\alpha$, entonces tal vez la misma fórmula que define a $K$ $L_\delta$ algunos $\delta < \alpha$. Pero el problema parece ser la de garantizar que el existencial testigos están delimitadas en algunos $\delta < \alpha$.

Answer 1

De derecha a izquierda: supongamos $K\subseteq \gamma < \alpha$, e $K, \alpha-K$ $\Sigma_1$definibles por más de $L_{\alpha}$. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que todos los parámetros en el $\Sigma_1$ definiciones son también en $L_{\gamma}$. Luego hay $\Delta_0$ fórmulas $\varphi, \psi$ tal que para $x<\gamma$, $$ x\in K \iff (\exists \delta<\alpha)\,\varphi(x,\delta) $$ y $$ y\en \alpha-K \iff(\exists \eta<\alpha)\,\psi(x,\eta). $$ Por $\Sigma_0$ colección, hay un conjunto $X\in L_{\alpha}$ tal que $$ \text{para todos $x < \gamma$, $(\exists \xi\in X)\,[\varphi(x,\xi) \lor \psi(x,\xi) ]$} $$ porque la fórmula $[...]$$\Delta_0$. Deje $\beta < \alpha$ ser tal que $x\in L_{\beta}$$\beta > \gamma$. A continuación, $K$ es definible $L_{\beta}$ (con parámetros en $L_{\beta}$, también): $$\begin{align} K &= \{x\in L_{\beta}\mid x<\gamma \land L_{\beta}\models (\exists \xi\in X)\,\varphi(x,\xi)\} \\ &= \{x\in L_{\beta}\mid x<\gamma \land (\exists \xi\in X)\,\varphi(x,\xi)\}. \\ \end{align}$$

($\subseteq$) Supongamos $x\in K$. A continuación,$x<\gamma$, $\delta<\alpha$ tal que $\varphi(x,\delta)$. Por lo tanto no es $\xi\in X$ tal que $[\varphi(x,\xi)\lor \psi(x,\xi)]$. Pero si $\psi(x,\xi)$,$x\in \alpha-K$; por lo $\varphi(x,\xi)$.

($\supseteq$) es clara.

Por lo tanto $K\in L_{\beta+1}\subseteq L_{\alpha}$.

Answer 2

Dependiendo de su definición de la admisión de un ordinal, esta pregunta es obvia, o puede requerir algo de trabajo.

Generalmente, $\alpha$ es admisible ordinal si y sólo si $L_\alpha$ es admisible establecido. La admisión de un conjunto es un conjunto transitivo satisfacer algunas de las cosas básicas como la vinculación, unión, y $\Delta_1$-separación, y $\Sigma_1$-de la colección.

A veces, la admisión de un conjunto se define sólo con $\Delta_0$ de comprensión y de colección, pero usted puede probar $\Delta_1$ comprensión y $\Sigma_1$ colección a partir de estos axiomas.

De regreso a su problema: Desde $K$ es acotado, hay algunos $\delta < \alpha$ tal que $K \subseteq \delta$. $\delta \in L_\alpha$. Desde $K$ $\Sigma_1$ $\Pi_1$ por su supuesto, hay $\Sigma_1$ $\Pi_1$ fórmulas $\varphi$ $\psi$ tal que $L_\alpha \models (\forall x)(\varphi(x) \Leftrightarrow \psi(x))$$K = \{\beta < \alpha : L_\alpha \models \varphi(x)\} = \{\beta < \alpha : L_\alpha \models \psi(x)\}$. Entonces por $\Delta_1$, la comprensión, el conjunto $\{\beta < \delta : L_\alpha \models \varphi(x)\} \in L_\alpha$. Pero este ajuste es $K$ desde $K$ está delimitado por $\delta$.