Necesidad de álgebra sugerencia acerca de $a^4 + b^4 + c^4 - 2b^2c^2 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2$ para los lados de un triángulo

Question

Acabo de recibir un largo expresión: $$a^4 + b^4 + c^4 - 2b^2c^2 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2$$ y tengo que demostrar sus menos de cero para cada $a$, $b$, y $c$, que es el triángulo de lados

Realmente necesito consejos de cómo manejar grandes expresiones de modo que puede ser más útil para mí. Sé que probablemente debería conseguir algo de $(a+b+c)^2$ pero no puedo encontrar una manera de hacerlo , he intentado de alguna forma, pero una regla general de que la ayuda sería útil ...

Answer 1

Que la expresión puede ser un factor en el $-(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$. Ahora, ¿qué puede usted decir acerca de cada uno de los factores si $a,b,c$ son sidelengths de un triángulo?

Answer 2

Otros han mencionado que vino de la fórmula de Heron. Que expresa el área de un triángulo en función de las longitudes $a$, $b$, y $c$ de los tres lados. Observe que puesto que "la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos", debemos tener $a+b\ge c$, $b+c\ge a$, y $c+a\ge b$. Si $a+b$ pasa a ser igual a $c$, de modo que la distancia a lo largo de un lado además de la distancia a lo largo de la próxima lado hace que el viaje en tan poca distancia que va a lo largo del tercer lado, los tres vértices del triángulo debe estar en una línea recta, y la zona es $0$. Eso significa que una expresión para el área debe tener $a+b-c$ como un factor. Por la misma razón, se ha $b+c-a$ $c+a-b$ como factores. Y puesto que el área de un triángulo es $0$ cuando todos los tres lados tienen longitud $0$, también ha $a+b+c$ como un factor.

Pero $(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ es proporcional a la cuarta potencia de la longitud, mientras que un área es proporcional a la segunda potencia. Por lo tanto $\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}$ es proporcional al área. Aplicación para cualquier triángulo cuya área y longitudes de los lados son conocidos muestra que la constante de proporcionalidad debe ser $1/4$. Así $$ \text{área del triángulo} = \frac 1 4 \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}. $$

Que la fórmula de Herón. Si usted multiplicar el polinomio bajo el radical, se obtiene $$ -a^2-b^2-c^2+2ab+2bc+2ca. $$ Cualquier persona que los factores que polinomial al instante es probablemente alguien que se enteró de que por el hecho de pensar acerca de la fórmula de Herón.

La fórmula de Heron está escrito también en el formulario $$ \text{área}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \text{ donde }=\frac{a+b+c}{2}. $$ La cantidad de $s$ se llama el semiperimeter, obviamente porque es la mitad del perímetro.

Answer 3

Como otros han mencionado,de la siguiente manera muy sencilla de Heron.Sin embargo,hacemos lo que inicialmente se propuso.Este método,como ya sabes,se llama completar el cuadrado.Mi sugerencia va como sigue:

Comparar su expresión con la expansión de la $(a^2-b^2-c^2)^2$. ¿Qué se puede añadir o restar de la expresión para obtener un cuadrado?Finalmente,la factorización completa con el uso repetido de la identidad de $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

MOTIVACIÓN: Como usted ha dicho,es bastante fácil darse cuenta de que tenemos una expresión que se asemeja $(a^2+b^2+c^2)^2$, pero los signos menos dejó claro que no era lo que deberíamos estar buscando.Los signos menos también me motivó a comparar esta expresión con $(a^2-b^2-c^2)^2$.El resto fue bastante simple.