Me han demostrado que en el número de anillo de $\mathbb{Q}(\sqrt{13})$, las unidades son, precisamente,$\pm \left(\frac{3+\sqrt{13}}{2} \right)^n$.
¿Cómo se puede deducir la integral de soluciones a la ecuación de Pell de esta manera?
Respuestas
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La conexión es la norma de la función: $$N\left(\frac{a}{2} + \frac{b \sqrt{13}}{2}\right) = \left(\frac{a}{2} - \frac{b \sqrt{13}}{2}\right)\left(\frac{a}{2} + \frac{b \sqrt{13}}{2}\right) = \frac{a^2}{4} - \frac{13b^2}{4}.$$ It's important that $un$ and $b$ be of the same parity. But if $$ and $b$ are both even, you can just halve them both without regard for the new parity and do $$N(a + b \sqrt{13}) = a^2 - 13b^2.$$ This should remind you of the $x^2 - 13y^2 = \pm 1$ equation. So what you need here are those powers of $\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$ that are of the form $a + b \sqrt{13}$ with $a, b \in \mathbb{Z}$. This turns out to be $\left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}\right)^{3n}$. En efecto:
- $N(18 + 5 \sqrt{13}) = -1$ $18^2 - 13 \times 5^2 = -1$.
- $N(649 + 180 \sqrt{13}) = 1$ $649^2 - 13 \times 180^2 = 1$.
- $N(23382 + 6485 \sqrt{13}) = -1$ $23382^2 - 13 \times 6485^2 = -1$.
- etc.
Elaqqad
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El teorema de que los vínculos $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ $\mathbb{Z}(\sqrt{D})$ se llama Dirichlet unidad teorema , muy interesante la referencia podría ser Direchlet de la unidad de teorema.
Así, por ejemplo, las unidades en $\mathbb{Q}(\sqrt{13})$ $\mp \epsilon^n$ donde$\epsilon=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$, esto implica utilizar el teorema de que el grupo de la unidad de cualquier orden en este campo tiene la forma $\mp a^{\mathbb{Z}}$ para algunos de una unidad de $a$.
Esto puede aplicarse, en particular, para el anillo de los enteros del campo, $\mathbb{Z}(\sqrt{13})$, lo que representa exactamente las soluciones de la ecuación de Pell. las soluciones serán $$ x+\sqrt{13}y=(18+5\sqrt{13})^n=a^n$$ with $a=\epsilon^3$ es el entero más pequeño que en las unidades del campo.
