Qué $c\cdot f(x) = f(cx) \implies f$ es lineal?

Question

Una de las funciones lineales $f$ es una función que tiene las dos propiedades siguientes:

1. $c\cdot f(x) = f(cx)$
2. $f(x+y) = f(x) + f(y)$

Pero no $c\cdot f(x) = f(cx) \implies f$ es lineal? Podemos asumir que la propiedad $2$ anterior, si tenemos una función de $f$ la satisfacción de la propiedad $1$?

Answer 1

$\def\norm#1{\lvert\lvert#1\rvert\rvert}\DeclareMathOperator\sign{sign}$ Creo que la respuesta es 'no' en un verdadero espacio vectorial de dimensión $n \geq 2$. Para un contraejemplo, vamos a $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ sea la función dada por $f(x_1, \dotsc, x_n) = \sign(x_1)\sqrt{x_1^2 + \dotsb + x_n^2}$. Esto satisface la condición de escalado, porque

$$ \begin{align} f( c(x_1, \dotsc, x_n)) &= f(cx_1, \dotsc, cx_n) \\ &= \sign(cx_1)\sqrt{c^2 x_1^2 + \dotsb + c^2x_n^2} \\ &= \sign(c)\sign(x_1)\sqrt{c^2}\sqrt{x_1^2 + \dotsb + x_n^2} \\ &= \sign(c)|c|\sign(x_1)\sqrt{x_1^2 + \dotsb + x_n^2} \\ &= cf(x_1, \dotsc f_n). \end{align} $$ Aquí $\sign \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es la función definida por $$ \signo(x) = \begin{cases} 1 & \text{if %#%#%} \\ 0 & \text{if %#%#%} \\ -1& \text{if %#%#%} \end{casos}. $$ A ver que $x>0$ no respeta, además, vamos a $x=0$$x<0$, cada uno que contiene una sola entrada igual a uno. Tenga en cuenta que esto es posible porque hemos asumido $f$. Entonces

$$ \begin{align} f(e_1 + e_2) &= f(1, 1, 0, 0 , \dotsc, 0) \\ &= \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 + \dotsc 0^2} \\ &= \sqrt 2. \end{align} $$ Pero desde $e_1 = (1, 0, 0, 0, \dotsc, 0)$, la segunda condición no es satisfecha por $e_2 = (0, 1, 0, 0, \dotsc, 0)$.

En la dimensión $n \geq 2$ (de nuevo a través de los reales), la respuesta es sí, como lo explica el argumento por el cartel de esta pregunta.