En esta lección, usted hará uso de la primera derivada y la segunda derivada para analizar las características de las gráficas de funciones.

Question

Supongamos $f:[a,b]\to \mathbb R$ ha derivado hasta el fin de $2$, y $f'(a)=f'(b)=0$.

Probar que existe un punto de $c$ $(a,b)$ tal que $$ |f"(c)|\geq 4\frac{|f(b)-f(a)|}{(b-a)^2}. $$

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Si fue un factor de 2, no 4, entonces yo podría usar una expansión de Taylor con Lagrange residuo.

Answer 1

Deje $z = \frac{a + b}2$. Taylor expansión centrada en $a$ es $$ f(z) = f(a) + f'(a)(z - a) + \frac 12f"(\xi)(z - a)^2 $$ para algunos $\xi \in [a, z]$. Desde $f'(a) = 0$, obtenemos \begin{align} f(z) - f(a) & = \frac 12 f''(\xi)(z - a)^2\\ \therefore f''(\xi) & = 2\frac{f(z) - f(a)}{(z - a)^2}. \tag{1} \end{align} Del mismo modo, la expansión centrada en $b$ es \begin{align} f(z) & = f(b) + \frac 12f''(\eta)(z - b)^2\\ \therefore f''(\eta) & = 2 \frac{f(z) - f(b)}{(z - b)^2} \tag{2} \end{align} para algunos $\eta \in [z, b]$. Restar (2) de (1), y dividir por $2$: \begin{align} \frac{f''(\xi) - f''(\eta)}{2} = 4\frac{f(b) - f(a)}{(b - a)^2}. \end{align} Ahora, si $|f''(\xi)| \ge |f''(\eta)|$, lo que se deduce que $$ |f"(\xi)| \ge \frac{|f"(\xi)| + |f"(\eta)|}{2} \ge \frac{|f"(\xi) - f"(\eta)|}{2} = 4\frac{|f(b) - f(a)|}{(b - a)^2}. $$ De lo contrario, $|f''(\xi)| < |f''(\eta)|$, y obtenemos $$ |f"(\eta)| \ge 4\frac{|f(b) - f(a)|}{(b - a)^2} $$ por un razonamiento similar.