Diferencial de flujo relacionados con el gradiente de Ricci soliton en $S^2$

Question

Estoy confundido por una reclamación hecha en Brendle del Flujo de Ricci y la Esfera Teorema en la página 37.

Deje $(S^2,g)$ ser un gradiente de Ricci soliton con soliton función de $f:S^2\to\Bbb R$. Dado que la esfera es $2$-dimensional, tenemos $$\nabla^2f=(\rho-\tfrac{1}{2}s)g,$$ donde $\nabla$ es la LC conexión, $s$ es el escalar de curvatura, y $\rho$ es una constante. Deje $J$ ser una estructura compleja compatible con $g$, es decir, $(x,y)\mapsto g(x,Jy)$ es una forma simpléctica, $g(Jx,Jy)=g(x,y)$, e $\nabla J=0$. Dejando $\xi$ ser el gradiente de $f$ wrt. $g$ , $J\xi$ es un campo de muerte y su flujo de $\varphi_t$ es un parámetro del grupo de isometrías. Deje $p\in S^2$ ser un punto crítico de $f$ y deje $a=\rho-\tfrac{1}{2}s(p)$, por lo que $$\tag{1}(\nabla^2 f)_p(v,v)=a|v|^2.$$

El autor afirma que esta implica $$\tag{2}(\mathrm d\varphi_t)_p(v)=\cos(at)v+\sin(at)Jv,$$ para todos los $t\in\Bbb R$$v\in T_pS^2$, que estoy teniendo un momento muy duro de ver.

Desde $p$ es un punto crítico de la $J\xi_p=0$, e $\varphi_t(p)=p$. También tenemos $g(v,Jv)=\omega(v,v)=0$, es decir, $v\bot Jv$ y por lo tanto son linealmente independientes. Así que podemos escribir $$(\mathrm d\varphi_t)_pv=\alpha(t)v+\beta(t)Jv,$$ para las funciones lisas $\alpha,\beta:\Bbb R\to\Bbb R$. Además, desde el $\varphi_t$ es una isometría, tenemos \begin{align*}g(v,v)&=g((\mathrm d\varphi_t)_p(v),(\mathrm d\varphi_t)_p(v))\\ &=g(\alpha v+\beta Jv,\alpha v+\beta Jv)\\ &=\alpha^2 g(v,v)+2\alpha\beta g(v,Jv)+\beta^2g(Jv,Jv)\\ &=(\alpha^2+\beta^2)g(v,v)\implies \alpha^2(t)+\beta^2(t)=1.\end{align*}

Claramente $\alpha(0)=1$$\beta(0)=0$. Para obtener el seno y el coseno, parece que uno debe derivar las Odas $\alpha''=-a^2\alpha$ $\beta''=-a^2\beta$ con la correcta valores iniciales de $(1)$, pero no sé cómo hacerlo.

Tomando la derivada de la $\alpha^2+\beta^2=1$ da $\alpha\alpha'+\beta\beta'=0$, de donde $\alpha'(0)=0$. Deje $c(t)=\alpha(t)v+\beta(t)Jv$. A continuación, $t\mapsto g(c(t),c(t))$ es una función constante, por lo $g(c',c)=0$. Esto corrige $c'=-k\beta v+k\alpha Jv$ donde $k$ es una constante. Mus $ \alpha'=-k\beta$ and $\beta'=k\alpha$. Thus $\beta'(0)=k$ and we get $c"=-k^2c$. Together with the initial values, this gives $c(t)=\cos(kt)v+\sin(kt)Jv$. How does one see that $a=k$?

No es claro para mí por qué $\alpha,\beta$ debe ser el mismo para todos los vectores. Asumiendo $(\mathrm d\varphi_t)_p(w)=\gamma(t)w+\delta(t)Jw$ e informática $g(v,w)$ da un horrible desastre.

¿Cómo se obtiene $(2)$?

Answer 1

La idea principal de esta prueba es debido a un profesor mío.

Debido a que el diferencial de los flujos de $\{(\mathrm{d}\varphi_t)_p\}_{t\in\Bbb R}$ son isometrías de la $2$-dimensiones interiores espacio del producto $(T_pS^2,g_p)$, $(\mathrm{d}\varphi_t)_p\in \mathrm{SO}(2)$ por cada $t$. Desde $T_pS^2$ tiene una base ortogonal $\{v,Jv\}$, podemos escribir $(\mathrm{d}\varphi_t)_p(v)=\cos(\alpha)v+\sin(\alpha)Jv$ por cada $t$. El grupo de la propiedad de los flujos significa que $t\mapsto (\mathrm{d}\varphi_t)_p$ es un (suave) homomorphism $\Bbb R\to\mathrm{SO}(2)$, y podemos escribir $$(\mathrm{d}\varphi_t)_p(v)=\cos(\theta t)v+\sin(\theta t)Jv,$$ para $\theta\in\Bbb R/2\pi$.

Tenga en cuenta que $$\nabla_Y\xi^\flat=\nabla_Y\nabla f=(\rho-\tfrac{1}{2}s)Y^\flat\implies \nabla_Y\xi=(\rho-\tfrac{1}{2}s)Y,$$ para cualquier campo vectorial $Y$. Luego, en $p$, ya que el $J$ paralelo: $$\nabla_YJ\xi=aJY.$$

De la do Carmo Geometría de Riemann, en la página 28, $$[X,Y](p)=\lim_{t\to 0}\frac{Y(\varphi_t(p))-(\mathrm{d}\varphi_t)_pY(p)}{t},$$ donde $X,Y$ son campos vectoriales y $\varphi_t$ es el flujo de $X$. Dejando $X=J\xi$ $Y=$ arbitrarias extensión de $v\in T_pS^2$, obtenemos $$[J\xi,Y](p)=-\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right|_{t=0}(\mathrm d\varphi_t)_p(v)=-\theta Jv.$$ Ahora, desde la $J\xi(p)=0$, el cero de torsión condición da $$[J\xi,Y](p)=\nabla_{J\xi}Y(p)-\nabla_YJ\xi(p)=-aJv,$$ de modo que $a=\theta$, como se desee.