El polinomio mínimo sobre un campo de extensión divide al polinomio mínimo sobre el campo base

Question

Necesito ayuda para demostrar este teorema:

Dada la extensión del campo: $\mathbf{K} \subseteq \mathbf{L}$ , para $\alpha \in \mathbf{L}$ y $g(x) \in \mathbf{K}[x]$ , $\alpha$ sobre el polinomio mínimo de $K$ , y $f(x) \in \mathbf{L}[x]$ , $\alpha$ sobre el polinomio mínimo de $L$ , entonces el grado de $g$ es mayor que el grado de $f$ y $f(x)$ divide $g(x)$ .

Answer 1

Porque $\mathbf{K}\subseteq\mathbf{L}$ También tiene $\mathbf{K}[x]\subseteq\mathbf{L}[x]$ para que $g\in \mathbf{L}[x]$ y $g(\alpha)=0$ y por lo tanto (porque $f$ es el polinomio mínimo de $\alpha$ en $\mathbf{L}$ ) debemos tener $f\mid g$ y, por tanto, también $\deg(f)\leq\deg(g)$ .