Casi seguro que la convergencia de procesos estocásticos

Question

Supongamos que tenemos un (casi seguramente) continuo proceso estocástico $\{ X_{t} \}_{t \geq 0}$ $[0,1]$ con los no-estocásticos valor inicial $X_{0} = x_{0} \in [0,1]$ y de manera exponencial la disminución de la expectativa de $E(X_{t}) = x_{0} e^{-\gamma t}$ donde $\gamma > 0$.

Para el correspondiente discretos de tiempo de proceso de $\{ X_{n} \}_{n = 0}^{\infty}$, una aplicación de la desigualdad de Markov y el Borel–Cantelli lema muestra que $\lim_{n \rightarrow \infty} X_{n} = 0$ casi seguramente. Es la misma verdad para el tiempo continuo proceso de $\{ X_{t} \}$, es decir, ¿tenemos $\lim_{t \rightarrow \infty} X_{t} = 0$ casi con seguridad?

Originalmente, el proceso de $\{ X_{t} \}$ el (casi seguramente) único, continua, y Markovian solución de la Ito diferenciales estocásticas ecuación \begin{equation*} dX_{t} = -\gamma X_{t} dt + k \sqrt{\gamma} \sqrt{X_{t}^{3}(1-X_{t})}dW_{t}, \ X_{0} = x_{0} \in [0,1] \end{ecuación*} donde $k > 0$ $W_{t}$ es un movimiento Browniano. ¿Esto garantiza que la casi seguro de que la convergencia hacia la $0$?

Answer 1

Mediante la aplicación de Ito formulq llegamos $e^{\gamma t}X_t$ es una martingala local, por lo que es un supermartingale para ello es positivo, y así es para $X_t$. A continuación, algunos clásicos argumento(por ejemplo, un ejercicio en el Capítulo 1, el movimiento Browniano y el cálculo estocástico) sabemos que cualquier positivo supermartingale converge casi seguramente. Denotar su límite por $X_{\infty}\geq 0$, Fatou del lema da

$$E[X_{\infty}]\leq\liminf_{t\rightarrow\infty}E[X_t]=0$$

que permite mostrar $X_{\infty}=0$.s.

Answer 2

@Higgs88 muchas Gracias por tomarse el tiempo para responder a esta pregunta. Me he decidido a escribir los detalles yo a ver si me entender bien.

Queremos demostrar que si $\{ X_{t} \}_{t \geq 0}$ es de tipo continuo, supermartingale con asintóticamente fuga expectativa $\lim_{t \rightarrow \infty} E(X_{t}) = 0$ , $\lim_{t \rightarrow \infty } X_{t} = 0$, casi con toda seguridad. Seguir a @Higgs88, por Doob la primera martingala teorema, $\{ X_{t} \}_{t \geq 0}$ tiene un límite de $X_{\infty} \[0, \infty[$ casi seguramente. En particular, tenemos casi seguro la convergencia en tiempo discreto, es decir, $\lim_{n \rightarrow \infty} X_{n} = X_{\infty}$ almost surely, and thus, by Fatou's lemma applied to the non-negative sequence $\{ X_{n} \}$, obtenemos \begin{equation} E(X_{\infty}) = E( \lim_{n \rightarrow \infty} X_{n} ) = E( \liminf_{n \rightarrow \infty} X_{n} ) \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} E(X_{n}) = \lim_{n \rightarrow \infty} E(X_{n})= 0 \end{equation} Pero por la desigualdad de Markov, $P(X_{\infty} \geq \epsilon ) \leq \frac{1}{\epsilon} E(X_{\infty}) = 0$ para todo $\epsilon > 0$, e $X_{\infty} = 0$ casi seguramente.

A ver cómo aplicar el resultado anterior para el Ito solución $\{ X_{t} \}$, we need to show that it is a supermartingale. However, put $Y_{t} = e^{\gamma t} X_{t}$ and notice that $dY_{t} = k \sqrt{\gamma} \sqrt{e^{-3\gamma t} Y_{t}^{3} (1-e^{-\gamma t} Y_{t})}dW_{t}$ por Ito lema, y $\{ Y_{t} \}$ es un valor no negativo martingala local y por lo tanto un supermartingale. En consecuencia, $\{ X_{t}\}$ es un supermartingale.

Sin embargo, me pregunto si algunos de los supuestos que se ven debilitados o eliminado, en particular, el supermartingale asunción.