Cuando es Lebesgue integración útil de más de Riemann integración en la física?

Question

Riemann integración es bueno para la física en general, debido a las funciones tratadas tienden a ser diferenciable y que se porten bien. A pesar de esto, es posible que Lebesque integración puede ser más poderosamente usado incluso en situaciones físicas que pueden ser resueltos mediante la integración de Riemann. Así que mi pregunta es:

En la resolución de problemas de física, cuando es Lebesque integración útil de más de Riemann a la integración?

Answer 1

Un ejemplo importante en la mecánica cuántica, por ejemplo, es el espacio de Hilbert

$$H~=~L^2(\mathbb{R}^3)$$

de Lebesgue cuadrado integrable funciones de onda $\psi$ en la posición del espacio $\mathbb{R}^3$. La plaza de Lebesgue integrable funciones (como opuesto a la plaza de Riemann integrable funciones) son necesarios para completar el espacio de Hilbert con respecto a la plaza de la norma

$$||\psi||_2~:=~\sqrt{\int d^3x ~ |\psi(x)|^2}.$$

Relativos a la integridad, ver también este Phys.SE post.

Answer 2

En teoría: Lebesgue integrable funciones forman un espacio de Banach, mientras que la de Riemann integrable funciones no. Esto causa problemas en, por ejemplo, la mecánica Cuántica si tratamos de trabajar con los Riemann integrable funciones en lugar de Lebesgue integrable funciones...

(Queremos que las funciones para formar un espacio de Banach para que podamos usar a good old fashioned de álgebra lineal para resolver los problemas!)

Cuando ¿importa? Tomar $$\chi_{\mathbb{Q}}(x)=\begin{cases}1 & x\in\mathbb{Q}\\ 0&\mathrm{otherwise}\end{casos}$$ Es Lebesgue integrable pero no es Riemann integrable.

Riemann integración no puede suceder más infinita de intervalos, por ejemplo, $\int^{\infty}_{0}f(x)\,\mathrm{d}x$ es ilegal para la integración de Riemann.

Por otro lado, $\mathrm{sinc}(x)$ es Riemann integrable pero no es Lebesgue integrable.

Estas son todas teoría de la medida declaraciones que son irrelevantes para las explicaciones físicas, pero los matemáticos son conscientes de. En consecuencia...

En la Práctica: Para todos los días de la física, de la "integración simbólica" que se aprenden en el cálculo está perfectamente bien. Incluso cuando los físicos dicen que "trabajamos con $L^{2}(X)$..." pensamos acerca de la integración en el "de manera simbólica".

Es sólo si usted trabaja en la fabricación de la ruta integral riguroso que usted necesita tener cuidado acerca de "¿a Qué te refieres con la integración...".

Answer 3

Me gustaría señalar un completo ejemplo práctico, también. También puede que necesite cambiar el orden de integración y totalización, o la integración y el derivado de algunos cálculos, es decir, $\int dx\sum_n \to \sum_n \int dx$ o $\int dx\, \partial/\partial t \to \partial/\partial t \int dx$. Si bien este es un problema con la integración de Riemann, que trabaja para la integral de Lebesgue, bajo ciertos supuestos, que son, en los sistemas físicos, generalmente cumplido.