Para partículas sin masa, helicidad coincide con la quiralidad así que pregunte a encontrar
la razón, tal que
$$
\psi_{\pm}=\left( \psi_{\mp}\right) ^{\estrella},\quad\gamma_{5}\psi_{\pm}%
=\pm\psi_{\pm}.
$$
Mediante la descomposición de hermitian operador:
$$
\left( \gamma_{5}\right) _{ij}=\left( \psi_{+}\right) _{i}\left( \psi
_{+}^{\estrella}\right) _{j}-\left( \psi_{-}\right) _{i}\left( \psi_{-}%
^{\estrella}\right) _{j}=\left( \psi_{+}\right) _{i}\left( \psi_{-}\right)
_{j}-\left( \psi_{-}\right) _{i}\left( \psi_{+}\right) _{j},
$$
nos encontramos con que $\gamma_{5}$ debe ser una matriz antisimétrica. Desde
$\gamma_{5}$ es un hermitian operador implica que todos los componentes de
$\gamma_{5}$ debe ser imaginario puro. En Majorana base de todas las $\gamma$-matrices
son imaginarios puros y desde
$$
\gamma_{5}=i\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3},
$$
esto significa que $\gamma_{5}$ también es imaginario puro (y por lo tanto antisimétrica):
$$
\gamma_{5}=\left(
\begin{array}
[c]{cc}
\sigma_{2} & \\
& -\sigma_{2}%
\end{array}
\right) .
$$
La actualización. Fuera de tema. Desde mi punto de vista personal, yo nunca uso la base de la polarización de la función de onda tal que $\psi_{j,m}^{\star}=\psi_{j,-m}$. La razón es la siguiente: a veces es muy conveniente (ver explicación abajo) para asociar $\psi^{\star}$ con el "tiempo-revesed" función de onda como es sugerido por la ecuación de Schrödinger y la anti-naturaleza unitaria de la operación de inversión de tiempo. La polarización de la función de onda de una partícula de spin $s>0$ es un contravariante de rango $2s$ simétrica spinor:
$$
\psi_{s,\sigma}=\phi^{i_{1}..i_{2}},
$$
en cuyos índices de $1$ se produce $s+\sigma$ veces y $2$ $s-\sigma$ veces. El
complejo conjugación conduce a la covariante spinor:
$$
\phi_{i_{1}\ldots i_{2}}^{\left( rev\right) }=\left( \phi^{i_{1}..i_{2}%
}\right) ^{\estrella}.
$$
Utilizando el tensor antisimétrico $\epsilon^{ij}$ (el tensor métrico para
$SU\left( 2\right) $ ), se pueden construir de nuevo una covariante spinor, de modo que la señal
cambios tantas veces como hay dos en dos entre los índices:
$$
\psi_{s,-\sigma}^{\left( rev\right) }=T\left( \psi_{s,\sigma}\right)
=\psi_{s,\sigma}^{\estrella}\left( -1\right) ^{s-\sigma}.
$$
Por ejemplo, cuando el momento de reversión de la operación se repite:
$$
T^{2}\left( \psi_{s,\sigma}\right) =\left( -1\right) ^{2}\psi_{s,\sigma},
$$
que inmediatamente lleva a la conocida Kramer' teorema:
Para un sistema con la mitad de la integral de la suma de los espines de las partículas, en
un arbitrario campo eléctrico, todos los niveles debe ser doblemente degenerados,
y complejo conjugado spinors corresponden a dos estados diferentes con
la misma energía.
Para más detalles, véase el § 60, L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Mecánica Cuántica,
No relativista de la Teoría.
Por lo tanto, un (polarización) de la función de onda es por lo general normalizados por la
condición:
$$
\psi_{j,m}^{\estrella}=\psi_{j, m}\left( -1\right) ^{s-\sigma}.\quad\quad(1)
$$
Por ejemplo, para $s=1$ la polarización de los vectores tienen la forma:
$$
\varepsilon_{\pm1}=\frac{\mp i}{\sqrt{2}}\left( 1,\pm i,0\right)
,\quad\varepsilon_{0}=\left( 0,0,1\right) ,
$$
véase también la Nca. (28.7-28.9) en L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Mecánica Cuántica,
No relativista de la Teoría. Sin embargo, algunas personas encuentran que la normalización (1) demasiado complicado.
