Demostrando que $\int_a^bf^pd\alpha=0$ implica $\int_a^bfd\alpha=0$ $f \in \mathcal{R}(\alpha)$ $f\ge0$ $[a,b]$

Question

La pregunta puede parecer trivial para muchos. Pero no pude encontrar una solución trivial para arriba dentro de la teoría hasta Riemann-Stieltjes integral. Yo woudn no se pueden considerar los argumentos de la teoría de Lebesgue como no he estudiado hasta ahora. Aquí me gustaría tratar de demostrar que desde dentro de la teoría de Riemann-Stieltjes integral.
No se realiza ninguna suposición acerca de la continuidad de la $f$.

$\alpha$ es monótonamente creciente en $[a,b]$

Deje $A=\alpha(b)-\alpha(a)$

Deje $M=sup\{f(x)|x \in [a,b]\}$

$f \in \mathcal{R}(\alpha)$ $[a,b]$

$f \ge 0$ $[a,b]$

Dado $\int_a^bf^pd\alpha=0$

Para cualquier $\epsilon > 0$ existe una partición de $P$ de $[a,b]$, $P=\{a=x_0<x_1...<x_i<...<x_n=b\}$ tal que $U(P,f^p,\alpha)=\sum_1^nM_i(\alpha(x_i)-\alpha(x_{i-1}))< \epsilon$ donde $M_i=sup\{(f(x))^p|x \in [x_i,x_{i-1}]\}$. Para cualquier $k>0$ deje $K=\{i|M_i>k^p\}$. Deje $l(K)=\sum_{i \in K}(\alpha(x_i)-\alpha(x_{i-1}))$.

Ahora $$k^p.l(K)<\epsilon \implies l(K)<\frac{\epsilon}{k^p}$$
La elección de $\epsilon< k^p\delta \implies l(K)<\delta$ cualquier $\delta > 0$

Para la misma partición $P, K'=\{i|M'_i>k\}=K$ donde $M'_i=sup\{f(x)|x \in [x_i,x_{i-1}]\}$

$U(P,f,\alpha)\le M.l(K)+k.A<M\delta+kA$.

Tanto en $\delta$ $k$ puede ser elegido para ser arbitrariamente pequeño. Por lo tanto $U(P,f,\alpha)$ puede ser hecho para estar tan cerca de $0$ como se desee.

Esto demuestra $\int_a^bfd\alpha=0$

Cualquier trivial prueba sería bienvenido.

Answer 1

Tomar una función de paso de $0\le s\le f$. A continuación,$0\le s^p\le f^p$$0\le \int s^p dx\le\int f^pdx=0$. Por lo tanto $\int s^pdx=0$, pero dado que s es constante a trozos, esto implica que $s=0$. En particular, $\int s dx=0$ y como esto es cierto para cada función de paso por debajo de $f$, a continuación, la parte inferior de Riemann integral de $f$ debe ser cero.

Answer 2

Creo que, algunas limitaciones que deben ser impuestas en $p$, al menos no debe ser $0$. Pero, para una gran clase de los valores de $p$, específicamente $p>1$, Hölder la desigualdad puede ser utilizado. E. g.

$$0\leq \int_{a}^{b}fd\alpha = \int_{a}^{b}f\cdot 1d\alpha \leq \left(\int_{a}^{b}f^pd\alpha \right)^{\frac{1}{p}}\cdot \left(\int_{a}^{b}1^qd\alpha \right)^{\frac{1}{q}}=0$$