Estoy buscando resultados similares, Si $f \in L^p$ y $$ \begin{array}{rclcl} \Delta u & = & \operatorname{div}f & \mbox{in} & B_1\\ u&=&0& \mbox{on}& \partial B_1 \end{array} $$ entonces $$ \int_{B_1} \!\left| \nabla u \right|^2 \le \int_{B_1}\!\left|\,f\right|^2 .$$ Esto es, $f \in L^2 \Rightarrow \nabla u \in L^2$. Si conoces más generalmente, $f \in L^q \Rightarrow \nabla u \in L^q$. Es grande si usted puede escribir la solución. Si no, la referencia es buena, preferible que no los supuestos generales de segundo orden ecuaciones elípticas. Pero si usted sabe que sólo referencias para el caso general, estoy muy agradecido.
Respuesta
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Definir $F:H_0^1(B_1)\to\mathbb{R}$ $$F(u)=\frac{1}{2}\int_{B_1}|\nabla u|^2-\int_{B_1}f\cdot\nabla u$$
I - $F$ es levemente inferior semi continuo, es decir, si $u_n\to u$ débilmente en $H_0^1(B_1)$, $$F(u)\leq\liminf F(u_n)$ $
Para probar esto, sólo tenga en cuenta que la norma de la función es levemente inferior semicontinous (usted puede encontrar este resultado en cualquier buen libro de análisis funcional). Por otro lado, la expresión de $\int_{B_1} f\cdot\nabla v$ $v\in H_0^1$ es un funcional lineal en $H_0^1$, entonces, por definición de la debilidad de la convergenge, tenemos que $$\int_{B_1} f\cdot\nabla u_n\to \int_{B_1} f\cdot\nabla u$$
El último convergencia implica I.
II - $F$ es coercitiva.
Tenga en cuenta que $-\int_{B_1} f\cdot\nabla v\geq -\|f\|_2\|\nabla u\|_2$, lo que implica coerciveness.
Con I y II, sabemos que existen $u\in H_0^1(\Omega)$, lo que minimiza $F$, $\langle F'(u),v\rangle=0$ todos los $v\in H_0^1$, o, equivalentemente, $$\tag{1}\int_{B_1}\nabla u\nabla v=\int_{B_1}f\cdot\nabla v,\ \forall\ v\in H_0^1$$
Tomando $v=u$ en la última igualdad, llegamos a la conclusión mediante Titular de la desigualdad que $$\int_{B_1}|\nabla u|^2\leq\int_{B_1}|f|^2$$
Para el resultado de la $f\in L^q$ implica $\nabla u\in L^q$, le sugiero que eche un vistazo en el Calderón Zigmund teoría, como se sugiere en otro post.
Observación: tenga en cuenta que $F$ es estrictamente convexa, por lo que la solución es única.
Observación 2: tenga en cuenta que si $f\in L^2(B_1)^N$,$\operatorname{div}f\in H^{-1}(B_1)^N$, por lo tanto, $\langle \operatorname{div}f, v\rangle =-\int_{B_1}f\cdot\nabla v$ todos los $v\in H_0^1(B_1)$, whicih implica que $u$ satisface (en sentido débil) $$\Delta u=\operatorname{div}f$$
