Una desigualdad trigonométrico-integral

Question

Este problema surge de una discusión con uno de mis amigos:

Demuéstralo: $$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\int_{1}^{n}{\sin (x)\sin(x^2)}\,{\mathrm dx}< \lim_{n \to \infty}\int_{1}^{n}{\sin(x^2)}\,{\mathrm dx}$$

Me pregunto si existe una forma razonable de resolver de algún modo este problema. Gracias.

Answer 1

La idea es la siguiente. Considere su desigualdad $$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\int_{1}^{n}{\sin (x)\sin(x^2)}\,{\mathrm dx}< \lim_{n \to \infty}\int_{1}^{n}{\sin(x^2)}\,{\mathrm dx} $$ pero ambas integrales son significativas en el límite dado siendo valores estándar de las funciones de Fresnel. Así, se tiene $$ \int_{1}^{\infty}{\sin (x)\sin(x^2)}\,{\mathrm dx}< \int_{1}^{\infty}{\sin(x^2)}\,{\mathrm dx}. $$ El lado derecho puede evaluarse inmediatamente para obtener $$ \int_{1}^{\infty}{\sin(x^2)}\,{\mathrm dx}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\left[1-2S\left(\sqrt{2}{\pi}\right)\right]. $$ He introducido aquí una función Fresnel. Se definen de la siguiente manera $$ S(x)=\int_0^x dt\sin\left(\frac{\pi}{2}t^2\right)\qquad C(x)=\int_0^x dt\cos\left(\frac{\pi}{2}t^2\right) $$ y $\frac{\pi}{2}$ que se ve en las integrales es la razón por la que su integral se evalúa en ese valor para $S$ . Para su caso es $S\left(\sqrt{2}{\pi}\right)\sim 0.247558$ y por lo tanto el rhs evalúa a 0.316389.

En la izquierda tienes que hacer algo más de trabajo. Tendrás que $$ \sin(x)\sin(x^2)=\frac{1}{2}\left[\cos(x-x^2)-\cos(x+x^2)\right] $$ por lo que hay que evaluar $$ \int_{1}^{\infty}{\sin (x)\sin(x^2)}\,{\mathrm dx}=\frac{1}{2}\int_{1}^{\infty}\left[\cos(x-x^2)-\cos(x+x^2)\right]\,{\mathrm dx}. $$ Para evaluar estas integrales observamos en primer lugar que $x^2+x=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$ y $x^2-x=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$ y así $$ \frac{1}{2}\int_{1}^{\infty}\left[\cos(x-x^2)-\cos(x+x^2)\right]\,{\mathrm dx}= \frac{1}{2}\int_{\frac{1}{2}}^{\infty}\cos\left(y^2-\frac{1}{4}\right)\,{\mathrm dy}-\frac{1}{2}\int_{\frac{3}{2}}^{\infty}\cos\left(y^2-\frac{1}{4}\right)\,{\mathrm dy} $$ tras un evidente cambio de variables en las integrales. Pero reconocemos inmediatamente que $$ \int_{1}^{\infty}{\sin (x)\sin(x^2)}\,{\mathrm dx}= \frac{1}{2}\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\cos\left(y^2-\frac{1}{4}\right)\,{\mathrm dy} $$ y expandiendo el coseno nos damos cuenta de que $$ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\cos\left(y^2-\frac{1}{4}\right)\,{\mathrm dy}= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\cos(y^2)\cos\left(\frac{1}{4}\right)\,{\mathrm dy}+\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\sin(y^2)\sin\left(\frac{1}{4}\right)\,{\mathrm dy} $$ y volvemos a las funciones de Fresnel. Ya en este punto, deberías ser capaz de darte cuenta de que la desigualdad se mantiene ya que estás evaluando funciones de Frensel en un intervalo más pequeño y éstas también se multiplican por factores que son menores que la unidad. Pero podemos seguir con la evaluación numérica obteniendo 0,286035 que es menor que 0,316389 como debe ser.

Answer 2

Puede que no haya ninguna, general al menos, ya que si para cambiar los límites inferiores de integración de $1$ a $a$ la desigualdad no se mantendría para todos $a$ . A continuación se muestra un gráfico de los límites para diferentes valores de $a$ La izda. en rojo y la dcha. en azul: