Acabo de registrar un incidente en @CooperaNet

Question

Vi esto por primera vez en el Estado de Missouri problema de la página y que nunca ha sido resuelto no.

Considerar el grupo generado por a,b,c, y d con sujeción a las relaciones

ab = c, bc = d, cd = a, y da = b

El uso de la primera relación, la segunda relación se convierte en bab = d. El uso de esta expresión y la primera relación, obtenemos

abbab = a y baba = b

Tomando la segunda relación anterior y multiplicando ambos lados de la izquierda por un^-1b^-1 y a la derecha por un^-1, tenemos b = a^-2. Ahora la primera relación anterior se convierte en aa^-2a^-2aa^-2 = o^-4 = a, por lo tanto i = a^5. Por lo tanto, nuestro grupo se compone de los cinco elementos i, a, a^2,^3,^4. Los otros elementos que pueden ser expresados en términos de una como sigue: b = a^3, c = a^4, y d = a^2.

Finalmente, llegamos a su mes de problemas. ¿Cuántos elementos hay en los grupos dado por la siguiente generadores y relaciones?

* Generators:a,b,c
  Relations: ab = c, bc = a, ca = b

* Generators:a,b,c,d,e
  Relations: ab = c, bc = d, cd = e, de = a, ea = b

* Generators:a,b,c,d,e,f
  Relations: ab = c, bc = d, cd = e, de = f, ef = a, fa = b 

Fuente: John H. Conway

Reconozco que la primera, como los cuaterniones, pero no han hecho ningún progreso en los otros dos.

Answer 1

Estos son los llamados "grupos de Fibonacci" F(2,n), para la variable n.

En D. L. Johnson "Presentaciones de Grupos", Johnson da como ejercicio que

• F(2,5) es finito y cíclico
• F(2,6) es infinito, porque no existe un homomorphism $\chi \colon F(2,6)\to \mathrm{Sym}{\mathbb Z}$ tal que $(\chi(a))(n) = n+1$, $(\chi(b))(n)=-n$ para $n\in \mathbb Z$.

En un ejemplo anterior, Johnson demuestra que F(2,4) es cíclica, es decir, haciendo uso de van Kampen diagramas, tal vez eso ayuda para F(2,5).

No he probado a mí mismo, pero se parecen bastante tediosos ejercicios de todos modos.