Demostrar $\mathbb{Z}$ no es un espacio vectorial sobre un campo

Question

Este es un ejercicio del Capítulo 3 de Golán del álgebra lineal libro.

Problema: Mostrar $\mathbb{Z}$ no es un espacio vectorial sobre un campo.

Solución intento: Supongamos que hay un dicho campo y continuar por la contradicción. Voy a escribir la multiplicación $FV$ donde $F$ está en el campo y $V$ es un elemento de $\mathbb{Z}$.

Primero debemos descartar el caso de que el campo tiene carácter 2. Tendríamos

$$0=(1_F+1_F)1=1_F1+1_F1=2$$

una contradicción.

Ahora, considere el caso en que el campo no tiene carácter 2. A continuación, hay un elemento $2^{-1}_F$ en el campo, y

$1=2_F(2^{-1}_F1)=2^{-1}_F1+2^{-1}_F1$

Ahora $2^{-1}_F1\in\mathbb{Z}$ como es un elemento del espacio vectorial, pero no hay ningún elemento $a\in\mathbb{Z}$$2a=1$, por lo que tenemos una contradicción.

Es esto correcto?

Answer 1

La respuesta es, "Sí."

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Si $V$ es un espacio vectorial sobre un campo de característica positiva, entonces, como una abelian grupo, a cada elemento de a $V$ tiene orden finito. Si $V$ es un espacio vectorial sobre un campo de característica $0$, entonces, como un grupo abelian, $V$ es divisible. El grupo abelian $\mathbb Z$ no tiene ninguna de estas propiedades.