La resolución de la ecuación: $p^a (1-p)^b = q^a (1-q)^b$

Question

Actualmente estoy estudiando la siguiente ecuación:

$p^a(1-p)^b=q^a(1-q)^b$

donde $p,q \in (0,1)$, e $a,b \in \mathbb{N}$.

Me gustaría mostrar que la ecuación se satisface si y sólo si $p=q$.

Es posible hacer esto de una manera exacta? Me encontré con esta ecuación a la hora de estudiar los sistemas dinámicos, y no tengo mucho de un fondo con este tipo de ecuaciones.

(En realidad, más precisamente, me gustaría mostrar que

$\sum_k (p^{a_k}(1-p)^{b_k} - q^{a_k}(1-q)^{b_k}) = 0 \Leftrightarrow p = q$

para$p,q \in (0,1)$$a_k,b_k \in \mathbb{N}$.)

Gracias

Answer 1

Esto no puede ser del todo cierto. Ver la función $x^a(1-x)^b$. Tenga en cuenta que en $[0,1]$ la función aumenta, luego disminuye. Por lo que se necesita en todo pero un valor dos veces.

Answer 2

Considere la posibilidad de $f(x) = x^a (1-x)^b$ para los números naturales $a,b > 0$. A continuación, $f'(x) = x^{a-1} (1-x)^{b-1} (a-(a + b)x) > 0$ si y sólo si $x < \frac{a}{a+b} \in (0,1)$. Por lo $f(x)$ es el aumento en $[0, \frac{a}{a+b}]$ y disminuyendo en $[\frac{a}{a+b}, 1]$,$f(0) = 0$$f(1) = 0$. Así, para cada $0 \leq p \leq \frac{a}{a+b}$ hay un único, $\frac{a}{a+b} \leq q \leq 1$ también satisface la ecuación. Sólo para $p = \frac{a}{a+b}$ no se encuentra un valor diferente a $q$ que satisface la ecuación.

Answer 3

Respuesta: Falso.

Es claro que la función de $f(x)=x^a(1-x)^b$ tiene extremos $f(0)=0$$f(1)=0$. También es claramente positiva, continua y acotada $(0,1)$, por lo que debe tener un máximo de $y$-valor, alcanzó a decir $(u,v)$.

Deje $\lambda$ ser cualquier altura mayor que $0$, pero menor que la altura máxima $v$. Por el teorema del valor intermedio (aplicado dos veces), no existe $p\in(0,u)$ $q\in(u,1)$ tal que $f(p)=\lambda=f(q)$.

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Edit: Este razonamiento se aplica igual de bien a la más general de la función

$$f(x)=\sum_{k=1}^n x^{a_k}(1-x)^{b_k}.$$