¿El programa de Langlands preservar CFT de la distinción entre lo local y global de las teorías?

Question

Esta pregunta es vagamente relacionadas con: Diferentes formulaciones de Campo de la Clase de Teoría

Como dije, actualmente estoy aprendiendo campo de la clase de teoría. Para algunos la motivación, también he leído un poco acerca de Langlands. Todo lo que he leído acerca de que el programa parece ser una generalización de la formulación global de la CFT. Es el idioma local (y teoremas), conservado así? Son ellos, obviamente,/con dificultad o/conjecturally equivalente?

Answer 1

Hay un aspecto local para el programa de Langlands, conocido como el local de Langlands correspondencia. De hecho, Langlands conjeturó la existencia de una correspondencia para cada campo local $F$ y cada reductora grupo$G$$F$. Él demostró su local conjetura al $F$ es de arquímedes y $G$ es arbitrario. El caso de al $G = \mathrm{GL}_n$ $F$ no es de arquímedes está resuelto (por Laumon, Rapoport, y Stuhler en la función de campo de caso, y por Harris y Taylor en el caso de $p$-ádico campos). Hay muchos resultados conocidos por otros grupos de $G$ así, pero el local conjeturas arbitrarias $G$ aún no están resueltas, en la medida que yo sé.

En el $\mathrm{GL}_n$ de los casos, la correspondencia, a grandes rasgos, da un bijeciton entre (normalmente de infinitas dimensiones!) irreductible de las representaciones del grupo de $\mathrm{GL}_n(F)$ $n$- dimensiones de las representaciones del grupo de Galois de $F$. (Así, a diferencia de la abelian caso, no hay isomorfismo de grupos, sino más bien un cierto bijection entre ciertos tipos de representaciones de los diferentes grupos.)

El caso de general $G$ es mayor a la del estado, y de hecho, no es tan fácil encontrar el preciso conjetura en la literatura. En cualquier caso, implica muchas complicaciones, el más importante de los cuales es probablemente llamado endoscopia. Tenga en cuenta que las Ong ganó la medalla Fields este verano por su trabajo en este tema.

Al igual que con local CFT, las motivaciones para el local conjetura provienen de la teoría global. Por un lado, las representaciones de la matriz de los grupos sobre los campos locales surgen de manera natural en la teoría de la automorphic formas (esto es una generalización/reformulación de la teoría clásica de los operadores de Hecke en la teoría de las formas modulares), y, por otro lado, (al menos cierta) automorphic Hecke eigenforms se supone que debe estar relacionado con las representaciones de Galois grupos de global campos global de la reciprocidad de las leyes. La restricción de estas global de representaciones de Galois a la descomposición de los grupos, uno debe recuperar el conjetural local de la correspondencia. (Y, como dije en mi respuesta a su pregunta anterior, esto es, de hecho, el mecanismo por el cual los locales correspondencias son normalmente construidos, en los casos en los que se puede construir.)

Por último, no estoy seguro si entiendo tu última pregunta acerca de la equivalencia de forma correcta, pero si usted se está preguntando si la existencia de la global Langlands correspondencia (exactamente lo que eso significa) debe seguir desde el local de la correspondencia, la respuesta es no. Considere el caso de los CFT: conocer todos los locales de Artin mapas le permite escribir el mundial de Artin mapa, pero usted todavía tiene que demostrar el mundial de Artin de la ley de reciprocidad. Del mismo modo, conocer el local de Langlands correspondencia permite escribir un candidato para el mundial de la correspondencia, pero para demostrar que este candidato en realidad hace el trabajo es otro, aún más difícil, de la materia.

(Como ejemplo: antes de la modularidad teorema de curvas elípticas fue demostrado, la gente sabía cómo escribir el candidatos $q$-expansión que debe ser el peso $2$ modular formulario que se adjunta a una curva elíptica sobre $\mathbb Q$; esto debido a que los locales relevantes cuestiones fueron completamente entendido. El problema era que, a continuación, para demostrar que en realidad era un peso $2$ forma modular; este era un problema mundial, que fue completamente abierto hasta las Asechanzas y Taylor, Breuil, Conrad y Diamante resuelto.)