¿Qué objeto es más pesado?

Question

monedas números se dan, entre las que exactamente 3 son malos y pesados que buenos. Un equilibrio se utiliza para identificar las monedas malas. Asumir k monedas son recogidas en ambos lados de la balanza en un momento. Cuál es la probabilidad de

1. lado izquierdo siendo más pesado
2. lado derecho es más pesado
3. ambos lados están iguales en peso

Gracias.

Answer 1

Yo no soy grande en las estadísticas (que es por eso que trato de responder a estas preguntas a veces), pero aquí se va y yo voy a contar en la comunidad para que me diga si estoy equivocado.

Porque yo no soy grande, tengo que salir de estos problemas en pequeños muy elementales trozos.

En primer lugar, comencé con la probabilidad de que cada lado es igual. Creo que podría ser expresado como $$\mathbb{P}(\text{Both Sides Equal}) = \mathbb{P}(\text{0 Heavy}) + \mathbb{P}(\text{2 Heavy}) \cdot \mathbb{P}( \text{Even Split})$$

Decidí que esa es la probabilidad de que usted no elige ninguna pesadas monedas (por lo tanto deben ser iguales) o que usted elija 2 tanques pesados y uno está a la izquierda.

Empecé diciendo que: $\mathbb{P}(\text{0 Heavy}) = \frac{\binom{n - 3}{k}}{\binom{n}{k}}$

Después de tratar de averiguar $\mathbb{P}(\text{2 Heavy}) $ creo que me topé con esto: $\mathbb{P}(i\text{ Heavy}) = \frac{\binom{3}{i}\binom{n - 3}{k - i}}{\binom{n}{k}}$

También decidí que la mayoría del tiempo he querido buscar en la selección de ambos lados a la vez y, a continuación, dividir de manera uniforme de modo que empecé a pensar en la $k$$2k$.

OK, de modo que la cobertura $\mathbb{P}(\text{0 Heavy})$$\mathbb{P}(\text{2 Heavy}) $, pero yo tenía que averiguar la probabilidad de que se dan 2 pesos pesados

Gracias a Gerry Myerson, estoy convencido de que esta sección es incorrecta.

Me gustaría aleatoriamente divididos de manera uniforme entre los lados de la escala. Yo decidí voltear las pesadas monedas y si eran jefes me gustaría ponerlos a la izquierda y la cola me gustaría poner en la derecha. Que metafóricamente de curso. Pero, en el fondo, no se $2^2$ resultados de echar 2 monedas y 2 de ellos como resultado de una división tan $\mathbb{P}(\text{Even Split}) = 2 / 2^2 = 2 / 4 = .5$.

Mi nueva idea es que siempre habrá sólo 2 formas de tener el 2 pesadas monedas juntos: tanto en la izquierda o en ambos a la derecha. Hay $\binom{k}{\frac{k}{2}}$ maneras de dividir las monedas. Por lo tanto, creo que esta es la correcta: $$\mathbb{P}(\text{Even Split}) = 1 - \frac{2}{\binom{k}{\frac{k}{2}}}$$

Si eso es correcto, creo, la probabilidad de que ambos lados de pesaje de la misma es: $$\mathbb{P}(\text{Both Sides Equal}) =\frac{\binom{n - 3}{k}}{\binom{n}{k}}+\mathbb{P}(\text{Even Split})\cdot\frac{\binom{3}{2}\binom{n - 3}{k - 2}}{\binom{n}{k}}$$

OK. Así, las condiciones para el lado izquierdo siendo más pesado que el lado derecho son las mismas que las condiciones para el lado derecho de ser pesada que la de la izquierda, por lo $\mathbb{P}(\text{Left Heavier}) = \mathbb{P}(\text{Right Heavier})$.

Por lo tanto, yo sólo traté de calcular el $\mathbb{P}(\text{1 Side Heavier})$. Pasé más tiempo del que me gustaría admitir antes de que me di cuenta de que $\mathbb{P}(\text{1 Side Heavier}) = \mathbb{P}(\neg\text{Both Sides Equal})$.

Nerviosamente, puedo enviar esta respuesta como puedo ejecutar algunas pruebas para asegurarse de que estoy al menos en la pista de la derecha.

Answer 2

Sugerencia: por un lado es mayor si se tiene más mala que la otra. Que puede ocurrir si uno de los lados tiene una mala moneda y el otro no tiene, o si uno de los lados tiene dos malos y el otro no tiene ... no Hay muchas posibilidades. Se puede ver una relación entre la parte 1 y la parte 2?

El número de desordenada maneras de escoger el lado izquierdo monedas que incluyen una mala se a $3\binom {n-3} {k}$ puede ver la Wikipedia en combinación si esta es la cuestión.

Answer 3

Primero presuponemos que $n \geqslant 2k$, e $k \geqslant 3$

Primero vamos a la muestra $2k$ monedas desde el montón de la $n$. El número de la mala monedas $X$ en la muestra sigue la distribución hipergeométrica $\operatorname{Hyp}(2k,3,n)$. A continuación, nos muestra $k$ monedas para poner en el lado izquierdo de estas $2k$ monedas. El número de la mala monedas en este ejemplo $Y$, condicionado a $X=x$ también sigue la distribución hipergeométrica, $Y|X=x \sim \operatorname{Hyp}(k,x,2k)$. El lado izquierdo es más pesado si $Y > X-Y$, es decir,$2Y > X$. $$ \begin{eqnarray} \mathbb{P}(2Y > X) &=& \sum_{x=0}^3 \mathbb{P}(2(Y|X=x) > x) \mathbb{P}(X=x) = \sum_{y=0}^3 \sum_{x=0}^3 I(2y > x) \mathbb{P}(X=x) \mathbb{P}(Y|(X=x)=y) \\ &=& \frac{k \left(10 k^2-9 k n+6 k+3 n^2-6 n+2\right)}{(n-2) (n-1) n} \end{eqnarray} $$ Del mismo modo, la probabilidad de lado derecho siendo más pesado es $$\begin{eqnarray} \mathbb{P}(2Y < X) &=& \sum_{y=0}^3 \sum_{x=0}^3 I(2y < x) \mathbb{P}(X=x) \mathbb{P}(Y|(X=x)=y) \\ &=& \frac{k \left(10 k^2-9 k n+6 k+3 n^2-6 n+2\right)}{(n-2) (n-1) n} \end{eqnarray} $$ Entonces, la probabilidad de ambos lados que son iguales, es $$ \mathbb{P}(Y=X-Y) = 1 - \mathbb{P}(2Y>X) -\mathbb{P}(2Y<X) = \frac{(n-2 k) \left(-4 k n+2 k (5 k+3)+n^2-3 n+2\right)}{(n-2) (n-1) n} $$

Answer 4

Probabilidad de que sea del lado izquierdo o derecho de equilibrio siendo más pesado es:

La probabilidad de lado izquierdo/derecho de conseguir 2 pesadas monedas + probabilidad de lado izquierdo / derecho de conseguir una pesada moneda * probabilidad de otro lado consiguiendo 0 pesadas monedas.

(k)C2 + {K(n-2k)/(n)C2 } / (n)C(2)