El inverso izquierdo implica el inverso derecho en un anillo finito

Question

Deje que $R$ ser un anillo finito, y asumir $ \exists x,y \in R$ de tal manera que $ xy=1$ . Como puedo mostrarlo implica $yx=1$ ?

Answer 1

Pista: $xy=1$ implica que la multiplicación izquierda por $y$ es uno a uno. ¿Puedes sacar una conclusión sobre si hay o no hay una $z$ de tal manera que $yz=1$ ?

Si es así, puede completar el argumento mostrando que $z=x$ .

Answer 2

Pista $\ $ Como ocurre a menudo, este resultado en números es un caso especial de un resultado en funciones . a saber, considerar $ \rm\ :x,y\:$ como mapas de multiplicación a la izquierda $ \rm\ :f(r) = xr,\ g(r) = yr,\:$ y luego aplicar lo siguiente

Lemma $ \rm\ fg = 1\ \Rightarrow\ gf = 1\ $ para los mapas $ \rm\ :f,g\:$ en un conjunto finito $ \rm\ :R.$

$ \rm (1)\ \ \ fg = 1\ \Rightarrow\ g\ is\ 1\!-\!1\:$ por $ \rm\ :f\:$ de $ \rm\ :g(a) = g(b)\ \Rightarrow\ a = b $

$ \rm (2)\ \ \ g\ is\ 1\!-\!1\ \Rightarrow\ g\:$ está en marcha, ya que $ \rm\ :R\:$ es finito

$ \rm (3)\ \ \ g\ is\ onto\ \Rightarrow\ gf = 1\:$ por $ \rm\ a = g(b) = g(fg(b)) = gf(a)$

Observación $\ $ De hecho, podemos ver el anillo como el conjunto de tales mapas (representación regular a la izquierda), donde los elementos de $ \rm\ :R\:$ se consideran esencialmente como $1$ -matrices dimensionales. Entonces lo anterior es análogo a un resultado bien conocido sobre las matrices, por ejemplo, ver mi poste aquí donde pruebo $ \rm\ AB = I\: \Rightarrow\ ; BA = 1,\:$ o, de forma equivalente, $ \rm\ :B\:$ inyectable $ \rm \Rightarrow $ $ \rm\ : B\:$ surjectiva, explotando la principio de encasillamiento . Ver también otros posts en ese hilo que aclaran el papel fundamental que juega el principio del encasillamiento. Ver también esta pregunta sobre los anillos finitos de Dedekind, es decir, anillos donde $ \rm\ :xy = 1\: \Rightarrow\ : yx = 1.$