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En avión existen puntos de 22 y 22 tales círculos que cada círculo contiene al menos 7 puntos y cada punto es de al menos 7 círculos.

No en el plano de existir 22 22 de esos círculos que cada círculo que contiene al menos 7 puntos y cada punto es en, al menos, 7 círculos. (Moldavia TST 2005)


Yo lo he solucionado este, pero ahora no recuerdo cómo lo hice yo. Acabo de recordar que he utilizado algunos de álgebra lineal y la doble contabilización.

Supongamos que cada punto de Pi{P1,P2,...P22} pi7 círculos entre los círculos C1,C2,...,C22. Ya que cada par de {Ci,Cj} compartir en la mayoría de las 2 puntos y cada punto es en (pi2) par de círculos, tenemos:

2(222)i=122(pi2)22(72) Puesto que debemos tener todas las igualdades se deduce que pi=7 todos los i y cada par de círculos se intersectan en exactamente dos puntos. Ahora desde 227i=122|Ci|=i=122pi=227 así que cada círculo contiene exactamente 7 puntos.

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aprado Puntos 1

No voy a entrar en los detalles. Como ya observamos en la introducción de cada punto en 7 círculos y cada círculo contiene 7 puntos. También cada dos círculos se reúnen en 2 puntos.

Deje A ser un incidente de la matriz, por lo aij=1 si PjCi, otra cosa aij=0. También vamos a I matriz identidad y J matriz con 1 en todas partes. Entonces AAT=2J+5I=:M22 Por lo que M22=(7222227222227222227222227)(5000505005005050005522227) Desde (detA)2=detAdetAT=det(AAT)=det(M22)=:d22 d22 debe ser un cuadrado perfecto. Calcular el dn en general. No es difícil ver que dn satisfacer la ecuación recursiva: dn+1=5dn+25n donded1=7d2=45. A partir de aquí no es difícil ver dn=(2n+5)5n1 a partir de donde obtenemos d22=49521, que no es un cuadrado perfecto. Por lo tanto, tal configuración no existe.

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