En avión existen puntos de $22$ y $22$ tales círculos que cada círculo contiene al menos $7$ puntos y cada punto es de al menos $7$ círculos.

Question

No en el plano de existir $22$ $22$ de esos círculos que cada círculo que contiene al menos $7$ puntos y cada punto es en, al menos, $7$ círculos. (Moldavia TST 2005)

---

Yo lo he solucionado este, pero ahora no recuerdo cómo lo hice yo. Acabo de recordar que he utilizado algunos de álgebra lineal y la doble contabilización.

Supongamos que cada punto de $P_i\in \{P_1,P_2,...P_{22}\}$ $p_i\geq 7$ círculos entre los círculos $C_1,C_2,...,C_{22}$. Ya que cada par de $\{C_i,C_j\}$ compartir en la mayoría de las $2$ puntos y cada punto es en $\displaystyle{p_i\choose 2}$ par de círculos, tenemos:

$$2\cdot {22\choose 2} \geq \sum _{i=1}^{22} {p_i\choose 2} \geq 22 {7\choose 2}$$ Puesto que debemos tener todas las igualdades se deduce que $p_i = 7$ todos los $i$ y cada par de círculos se intersectan en exactamente dos puntos. Ahora desde $$22\cdot 7 \leq \sum _{i=1}^{22} |C_i| = \sum _{i=1}^{22}p_i = 22\cdot 7$$ así que cada círculo contiene exactamente $7$ puntos.

Answer 1

No voy a entrar en los detalles. Como ya observamos en la introducción de cada punto en $7$ círculos y cada círculo contiene $7$ puntos. También cada dos círculos se reúnen en $2$ puntos.

Deje $A$ ser un incidente de la matriz, por lo $a_{ij} = 1$ si $P_j \in C_i$, otra cosa $a_{ij} =0$. También vamos a $I$ matriz identidad y $J$ matriz con $1$ en todas partes. Entonces $$A\cdot A^T = 2\cdot J + 5\cdot I =: M_{22}$$ Por lo que $$M_{22}= \left(% \begin{array}{cccccc} 7 & 2 & 2 & \cdots & 2 & 2 \\ 2 & 7 & 2 & \cdots & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 7 & \cdots & 2 & 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 2 & 2 & 2 & \cdots& 7 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & \cdots & 2 & 7 \\ \end{array}% \right) \sim \left(% \begin{array}{cccccc} 5 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -5 \\ 0 & 5 & 0 & \cdots & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 5 & \cdots & 0 & -5 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots& 5 & -5 \\ 2 & 2 & 2 & \cdots & 2 & 7 \\ \end{array}% \right)$$ Desde $$(det A)^2=det A \cdot det A^T = det (A\cdot A^T) = det(M_{22}) =: d_{22}$$ $d_{22}$ debe ser un cuadrado perfecto. Calcular el $d_n$ en general. No es difícil ver que $d_n$ satisfacer la ecuación recursiva: $$d_{n+1}= 5d_n +2\cdot 5^n$$ donde$d_1=7$$d_2= 45$. A partir de aquí no es difícil ver $d_n = (2n+5)\cdot 5^{n-1}$ a partir de donde obtenemos $d_{22}= 49\cdot 5^{21}$, que no es un cuadrado perfecto. Por lo tanto, tal configuración no existe.