¿Cómo determinar el ángulo de fase de un movimiento sinusoidal?

Question

Si tengo un sistema mecánico de sobre-amortiguado que es excitado con un movimiento sinusoidal. Ese movimiento sinusoidal inicia con una frecuencia determinada y luego aumenta la frecuencia con el tiempo. Por supuesto, se sabe que habrá un desplazamiento de fase entre la fuerza y el movimiento de las que cuelgan masas.

Mi pregunta es, ¿cómo averiguar el retraso de la fase de movimiento de masa en relación con la fuerza impulsora?

Answer 1

Un oscilador armónico amortiguado con una sinusoidal fuerza impulsora es la representada por la ecuación

$$\ddot{x} + \gamma\dot{x} + \omega_0^2x = \frac{F_D \sin(\omega_D t)}{m}$$

donde $\gamma = b/m$ ($b$ es el coeficiente de amortiguamiento, $b=F/v$) y $\omega_0^2 = k/m$ es la frecuencia de resonancia del oscilador. La solución particular de esta ecuación puede ser determinado tomando la parte imaginaria de la solución a

$$\ddot{x} + \gamma\dot{x} + \omega_0^2x = \frac{F_D}{m}e^{i\omega_D t}$$

Si asumimos* la solución toma la forma

$$x(t) = A e^{i(\omega_D t + \phi)}$$

y un enchufe que, se consigue

$$-A \omega_D^2 + \omega_0^2 A = \frac{F_D}{m}\cos(\phi)$$

y

$$\gamma\omega_D A = \frac{F_D}{m}\sin(\phi)$$

La solución para que la diferencia de fase da

$$\tan\phi = \frac{\gamma\omega_D}{\omega_0^2 - \omega_D^2}$$

Esto depende de la frecuencia de la fuerza impulsora y la frecuencia de resonancia del oscilador, pero no en la amplitud de la fuerza motriz.

Se puede expresar esto en términos de la variable adimensional $x = \omega_D / \omega_0$

$$\tan\phi = \frac{\gamma}{\omega_0}\frac{x}{1 - x^2}$$

y si el gráfico de ella,

(gráfico generado por Wolfram Alpha) y verás cómo la respuesta del oscilador saltos desde que conducen a la zaga al $\omega_D = \omega_0$ (a $x=1$), es decir, cuando la conducción y frecuencias resonantes son iguales.

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*La misma solución puede ser obtenida a partir de la transformada de Fourier de descomposición sin hacer esta suposición.

Answer 2

Usted puede ver esto por ti mismo por balanceo de un péndulo o agitando una flexible de la barra de la cortina. Si el swing más lento que la frecuencia de resonancia, la masa (o el otro extremo de la barra de la cortina) solo sigue tu mano, de forma que la fase lag es cero. Si usted swing más rápido que la frecuencia de resonancia, entonces la masa se hace lo contrario de lo que su mano, de forma que la fase lag es de 180 grados. Como acercarse a la frecuencia de resonancia de lento a rápido, la fase se inicia va de 0 a 180, y la amplitud aumenta mucho, alcanzando un máximo en la frecuencia de resonancia y disminuyendo después. Balanceo exactamente a la frecuencia de resonancia usando sólo su mano es prácticamente imposible, pero si pudiera, se observa que la fase de retraso fue de 90 grados - a medio camino entre 0 y 180.

Answer 3

David tiene la respuesta correcta, con el agregado que si $\gamma$ no es sabe es, que se puede calcular si el sistema es conducido a la frecuencia natural y la amplitud se mide (usted ha mencionado este es un sistema overdamped).

$$ A_{x=1}=F_D/(\gamma\,m\,\omega_0) $$

o

$$ \gamma=F_D/(A_{x=1}\,m\,\omega_0) $$