Una de las diagonales de un hexágono corta un triángulo de área $\leq 1/6^{th}$ del hexágono

Question

El problema: Demuestre que, en un hexágono convexo, existe una diagonal que corta un triángulo de área no superior a la sexta parte del hexágono.

Mi intento: Supongamos que tenemos un hexágono $ABCD$ . Hay dos casos posibles: o las diagonales principales son concurrentes, o no lo son.

Si las diagonales principales $AD, BE, CF$ coinciden en un punto $G$ y las diagonales principales cortan el hexágono en $6$ triángulos, de los cuales al menos uno tiene área $\leq \frac 16 [ABCDEF]$ Supongamos que uno de estos triángulos es $DEG$ . Así, uno de los triángulos $DEF$ o $DEC$ tiene área $\leq[DEG]$ y hemos terminado.

Pero supongamos que las diagonales principales no son concurrentes, es decir, forman un triángulo $PQR$ . ¿Cómo puedo demostrar la afirmación en este caso?

Answer 1

Consideremos los seis triángulos ABQ, BCQ, CDR, DER, EFP, FAP. Son disjuntos y cubren un área menor que el hexágono entero. Y cada uno de ellos llega hasta una diagonal que no toca su base.