El problema: Demuestre que, en un hexágono convexo, existe una diagonal que corta un triángulo de área no superior a la sexta parte del hexágono.
Mi intento: Supongamos que tenemos un hexágono $ABCD$ . Hay dos casos posibles: o las diagonales principales son concurrentes, o no lo son. 
Si las diagonales principales $AD, BE, CF$ coinciden en un punto $G$ y las diagonales principales cortan el hexágono en $6$ triángulos, de los cuales al menos uno tiene área $\leq \frac 16 [ABCDEF]$ Supongamos que uno de estos triángulos es $DEG$ . Así, uno de los triángulos $DEF$ o $DEC$ tiene área $\leq[DEG]$ y hemos terminado.
Pero supongamos que las diagonales principales no son concurrentes, es decir, forman un triángulo $PQR$ . ¿Cómo puedo demostrar la afirmación en este caso?
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Elige cualquiera de los 3 puntos p,q,r. Todo el resto de tu argumento se mantiene.
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@DougM: No es así. Supongamos que elige R. Entonces FER ciertamente tiene un área menor que un sexto del hexágono entero, pero el argumento de que uno de AFE o FED tendrá un área menor no funciona porque los ARD ahora no son colineales.
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¿Cómo demostrar rigurosamente que uno de los triángulos tiene un área menor o igual que el triángulo que tiene menos de un sexto de área? ¿Es porque el punto $G$ se encuentra en una línea recta con los otros dos y, por lo tanto, el área de un triángulo debe ser máxima y mínima en uno de los puntos extremos?
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@user230452 porque el hexágono se divide en 6 triángulos disjuntos. Si todos los triángulos tienen $\geq \frac{1}{6}[ABCDEF]$ entonces la superficie acumulada superará $[ABCDEF]$ . Por lo tanto, al menos uno de ellos tendrá una superficie inferior a la sexta parte
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Ya lo he entendido. Preguntaba por la otra parte en la que se probaba que una de las diagonales cortaba un área menor o igual... Lo tengo claro en la sección de comentarios de la respuesta.