¿Cómo puede esta población extinta debido a la desigualdad de género?

Question

Esta población tiene las propiedades de la siguiente manera:

(1) es una población aislada, lo que significa que los individuos sólo puede aparearse con otros en esta población.

(2) es una monogamia de la población, lo que significa que cada individuo debe sólo tiene un compañero.

(3a) Cada pareja debe dar a luz a N los niños. N es un número entero.

(3b)(alternativa 3a) Cada pareja da a luz a k los niños, y k sigue una distribución de Poisson: P(k)=$\frac{N^k}{k!}e^{-N}$. N puede ser un número entero.

(4) La longitud de ciclo de reproducción en esta población es constante y coherente de un individuo a otro. Todos los individuos sólo dan a luz en sus fija la edad reproductiva.

(5) Hay un gen llamado DOOM. Si uno de los cónyuges en una pareja que lleva a la PERDICIÓN gen, que dará a luz a los hijos varones en la probabilidad de Pm. Una pareja sin DOOM tiene la misma probabilidad de dar a luz a niños varones y niñas.

(6) Si uno de los cónyuges en una pareja que lleva a la PERDICIÓN gen, sus niños van a llevar a la PERDICIÓN gen.

(7) Todas las personas no pueden distinguir a aquellos con la CONDENACIÓN de los que no tienen CONDENA.

(8) las condiciones Iniciales: El porcentaje de hombres la CONDENACIÓN de los transportistas es igual a las mujeres que la PERDICIÓN de los transportistas, y es $q_0$. El porcentaje de varones DOOM portadores no es igual a mujer DOOM no portadores, y es $(1-2q_0)/2$. En principio, todas las personas están en su edad reproductiva.

[Pregunta] ¿En qué condición dada por N, Pm y $q_0$, la población disminuirá gradualmente?

Answer 1

Tal vez usted puede tratar de abordar el problema de esta manera:

Deje $T_0 = m_0 + f_0$ de la población inicial. Y, en general, vamos a $T_k$ ser la población después de que el ciclo de reproducción $k$; $m_k$ y $f_k$ de la población de machos y hembras de la $k$-ésima generación, respectivamente. Suponiendo ($3$a), que los individuos tienen una esperanza de vida de $d$ ciclos de cultivo, y que no hay ninguna cría entre las diferentes generaciones, tenemos:

$$T_k = N \min(m_{k-1}, f_{k-1}) + \sum_{j=\max(0,k-d)}^{k-1} m_j + f_j$$

Además, si $P_d^k$ es la probabilidad de que un individuo de la $k$-th generación tiene el DOOM gen, y $P_m$ es la probabilidad de que un individuo tiene hijos varones, tenemos:

$m_k = N \left(\frac{1}{2}(1-P_d^k)+P_m P_d^k\right)\min(m_{k-1},f_{k-1})$

$f_k = N \left(\frac{1}{2}(1-P_d^k)+(1-P_m) P_d^k\right)\min(m_{k-1},f_{k-1})$

$P_d^k = P_d^{k-1}\left(2 - P_d^{k-1}\right)$

Tenga en cuenta que $\{P_d^k\}_k$ es un aumento de la secuencia. Ahora, el conjunto de

$A_k(P_m) = N \left(\frac{1}{2}(1-P_d^k)+P_m P_d^k\right)$

$B_k(P_m) = N \left(\frac{1}{2}(1-P_d^k)+(1-P_m) P_d^k\right)$

A partir de las relaciones recursivas para $m_k$ $f_k$ tenemos:

$m_k = A_k \min(A_{k-1}, B_{k-1}) \cdots \min(A_{1}, B_{1}) \min(m_0, f_0)$

$f_k = B_k \min(A_{k-1}, B_{k-1}) \cdots \min(A_{1}, B_{1}) \min(m_0, f_0)$

Ahora, sólo tenemos el estudio de tres casos:

• $P_m = \frac{1}{2}$:

En este caso, $A_k = B_k$, lo $\displaystyle m_k = f_k = 2 \min(m_0, f_0) \left(\frac{N}{2}\right)^k$, y $m_k$, $f_k$ convergen iff $N = 0, 1, 2$. En ese caso, $\displaystyle \lim_k T_k = m_k + f_k = 0, d \min(m_0, f_0), 2d\min(m_0, f_0)$, respectivamente.

• $P_m > \frac{1}{2}$:

• $P_m < \frac{1}{2}$:

Los últimos pueden ser resueltos de la misma manera.

Answer 2

Tengo la fuerte sospecha de que, básicamente, el doom gen se extiende a la totalidad de la población muy rápidamente o se a extinguido. Suponiendo que el tamaño de la población es grande, para empezar, y cerca dividida equitativamente entre hombres/mujeres menores de la configuración que se describe el doom gen se transmite casi siempre a la totalidad de la población, así que tal vez echemos un vistazo a ese caso.

Me acaba de modelo, el número de la edad reproductiva de las parejas de cada generación,$C_i$. De lo que recuerdo los sistemas estocásticos, como este siempre extinguirse en tiempo finito. El valor esperado del tamaño de la población en el tiempo $i$ todavía puede ser una función creciente de $i$, por lo que supongo que quieres saber bajo qué circunstancias es verdad.

Después de un evento de reproducción en caso 3a siempre vamos a terminar con $N C_i$ de los individuos, pero la pregunta es cómo muchas parejas esto corresponde a. Vamos temporalmente introducir la variable que representa el número de varones en el momento $i+1$, $M_{i+1}$. De esta manera se sigue la distribución binomial. Y tenemos $C_{i+1} = \min(M_{i+1},N C_i - M_{i+1})$. Supongamos $C_{i} \gg 1$, de modo que podemos usar la aproximación normal y buscar una expresión de la expectativa de la relación $\frac{C_{i+1}}{C_i}$. $E[\frac{C_{i+1}}{C_i}] \approx \int_{-\infty}^{C_i N/2} \frac{m}{C_i} \frac{1}{\sqrt{2 \pi N C_i P_m (1-P_m)}} e^{-\frac{(m-N C_i P_m)^2}{2N C_i P_m (1-P_m)}}\mathrm{d}m + \int_{C_i N/2}^{\infty} \frac{N C_i - m}{C_i} \frac{1}{\sqrt{2 \pi N C_i P_m (1-P_m)}} e^{-\frac{(m-N C_i P_m)^2}{2N C_i P_m (1-P_m)}}\mathrm{d}m$

Yo era capaz de hacer estas en mathematica; y, posteriormente, hacer un gran $C_i$ expansión. No es de extrañar que he encontrado que al líder de la orden

$E[C_{i+1}/C_i] = N (1-P_m)$

Así, para el tamaño esperado de la población para crecer necesita el número esperado de mujeres que nacen a cada pareja a ser mayor que $1$ (supuse $P_m \ge 1/2$).

EDIT: me di cuenta más tarde de que la integral asintótica va a salir muy limpia utilizando el método de Laplace. Yo realmente no quiero poner más tiempo en esto, pero si quieres un limpiador de derivación de aplicar este http://bit.ly/1bYXspG

Answer 3

Traté de hacer una repetición de la secuencia de este modelo de la siguiente manera.

En primer lugar, podemos hacer las siguientes definiciones:

$N_{d,m}^{(k)}$ es el número de hombres la CONDENACIÓN de los transportistas en el $k$-ª generación.

$N_{d,f}^{(k)}$ es el número de mujeres DOOM portadores en el $k$-ª generación.

$N_{n,m}^{(k)}$ es el número de hombres DOOM no portadores de la $k$-ª generación.

$N_{n,f}^{(k)}$ es el número de mujeres que DOOM no portadores de la $k$-ª generación.

$T^{(k)}$ es el número de parejas en el $k$-ª generación.

$T_{d,d}^{(k)}$ es el número de parejas cada uno consta de 2 DOOM portadores en el $k$-ª generación.

$T_{d,n}^{(k)}$ es el número de parejas cada uno consta de 1 macho DOOM portador y 1 hembra DOOM no es portador de la $k$-ª generación.

$T_{n,d}^{(k)}$ es el número de parejas cada uno consta de 1 macho no-DOOM portador y 1 hembra DOOM transportista en el $k$-ª generación.

$T_{n,n}^{(k)}$ es el número de parejas cada uno consta de 2 DOOM no portadores de la $k$-ª generación.

Entonces tenemos:

$T^{(k)}=min((N_{d,m}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)}) , (N_{d,f}^{(k)}+N_{n,f}^{(k)}))$

$T_{d,d}^{(k)}=T^{(k)}\frac{N_{d,m}^{(k)}}{N_{d,m}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)}}\frac{N_{d,f}^{(k)}}{N_{d,f}^{(k)}+N_{n,f}^{(k)}}$

$T_{d,n}^{(k)}=T^{(k)}\frac{N_{d,m}^{(k)}}{N_{d,m}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)}}\frac{N_{n,f}^{(k)}}{N_{d,f}^{(k)}+N_{n,f}^{(k)}}$

$T_{n,d}^{(k)}=T^{(k)}\frac{N_{n,m}^{(k)}}{N_{d,m}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)}}\frac{N_{d,f}^{(k)}}{N_{d,f}^{(k)}+N_{n,f}^{(k)}}$

$T_{n,n}^{(k)}=T^{(k)}\frac{N_{n,m}^{(k)}}{N_{d,m}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)}}\frac{N_{n,f}^{(k)}}{N_{d,f}^{(k)}+N_{n,f}^{(k)}}$

Como se supone en el modelo, una pareja con al menos 1 DOOM transportista tiene la probabilidad de $P_m$ a dar a luz al niño.

En el $k$-ésima generación, el número de parejas con al menos 1 DOOM transportista es $T_{d,d}^{(k)}+T_{d,n}^{(k)}+T_{n,d}^{(k)}$.

Por lo tanto, tenemos:

$N_{d,m}^{(k+1)}=P_m (T_{d,d}^{(k)}+T_{d,n}^{(k)}+T_{n,d}^{(k)}) N$

$N_{d,f}^{(k+1)}=(1-P_m) (T_{d,d}^{(k)}+T_{d,n}^{(k)}+T_{n,d}^{(k)}) N$

$N_{n,m}^{(k+1)}=N_{n,f}^{(k+1)}=0.5 T_{n,n}^{(k)} N$

A continuación, podemos obtener:

$\frac{(N_{d,m}^{(k+1)}+N_{d,f}^{(k+1)})}{(N_{n,m}^{(k+1)}+N_{n,f}^{(k+1)})}\frac{(N_{n,m}^{(k)}+N_{n,f}^{(k)})}{(N_{d,m}^{(k)}+N_{d,f}^{(k)})}=\frac{N_{d,m}^{(k)}N_{d,f}^{(k)}+N_{d,m}^{(k)}N_{n,f}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)}N_{d,f}^{(k)}}{N_{n,m}^{(k)}N_{n,f}^{(k)}}\frac{(N_{n,m}^{(k)}+N_{n,f}^{(k)})}{(N_{d,m}^{(k)}+N_{d,f}^{(k)})}>1$

lo que significa que la proporción de la PERDICIÓN de los transportistas siempre va en aumento, lo que indica que el destino de los portadores tomar la totalidad de la población con el tiempo. Así obtenemos

$\displaystyle \lim_{k \rightarrow\infty}N_{n,m}^{(k)}=0$ $\displaystyle \lim_{k \rightarrow\infty}N_{n,f}^{(k)}=0$

Además, podemos tener:

$\frac{T^{(k+1)}}{T^{(k)}}=\frac{min((N_{d,m}^{(k+1)}+N_{n,m}^{(k+1)}) , (N_{d,f}^{(k+1)}+N_{n,f}^{(k+1)}))}{T^{(k)}}= \frac{min((N_{d,m}^{(k+1)}+N_{n,m}^{(k+1)}) , (N_{d,f}^{(k+1)}+N_{n,f}^{(k+1)}))}{T^{(k)}}=\frac{min((\frac{P_{m}T^{(k)}(N_{d,m}^{(k)}N_{d,f}^{(k)}+N_{d,m}^{(k)}N_{n,f}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)}N_{d,f}^{(k)})N}{(N_{d,m}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)})(N_{d,f}^{(k)}+N_{n,f}^{(k)})}+N_{n,m}^{(k+1)}) , (\frac{(1-P_{m})T^{(k)}(N_{d,m}^{(k)}N_{d,f}^{(k)}+N_{d,m}^{(k)}N_{n,f}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)}N_{d,f}^{(k)})N}{(N_{d,m}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)})(N_{d,f}^{(k)}+N_{n,f}^{(k)})}+N_{n,f}^{(k+1)}))}{T^{(k)}}=min((\frac{P_{m}(N_{d,m}^{(k)}N_{d,f}^{(k)}+N_{d,m}^{(k)}N_{n,f}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)}N_{d,f}^{(k)})N}{(N_{d,m}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)})(N_{d,f}^{(k)}+N_{n,f}^{(k)})}+N_{n,m}^{(k+1)}) , (\frac{(1-P_{m})(N_{d,m}^{(k)}N_{d,f}^{(k)}+N_{d,m}^{(k)}N_{n,f}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)}N_{d,f}^{(k)})N}{(N_{d,m}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)})(N_{d,f}^{(k)}+N_{n,f}^{(k)})}+N_{n,f}^{(k+1)}))$

Como $k \rightarrow\infty$, $N_{n,m}^{(k)}$ y $N_{n,f}^{(k)}$ $\rightarrow 0$, tenemos

$\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}\frac{T^{(k+1)}}{T^{(k)}} =\lim_{k \rightarrow \infty} min(\frac{P_{m}(N_{d,m}^{(k)}N_{d,f}^{(k)}+N_{d,m}^{(k)}N_{n,f}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)}N_{d,f}^{(k)})N}{(N_{d,m}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)})(N_{d,f}^{(k)}+N_{n,f}^{(k)})},\frac{(1-P_{m})(N_{d,m}^{(k)}N_{d,f}^{(k)}+N_{d,m}^{(k)}N_{n,f}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)}N_{d,f}^{(k)})N}{(N_{d,m}^{(k)}+N_{n,m}^{(k)})(N_{d,f}^{(k)}+N_{n,f}^{(k)})}) = min(P_{m}N,(1-P_{m})N)$

Si N<2, $\frac{T^{(k+1)}}{T^{(k)}}<1$, lo que significa que el número de parejas que se disminuirá de manera consistente en el largo plazo, como resultado, la población se extinguieron sin importar el valor de $P_m$.

Cuando N>=2,

Si $(\frac{1}{N}-P_m)(1-\frac{1}{N}-P_m)<0$, $\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}\frac{T^{(k+1)}}{T^{(k)}}>1$, y la población va a aumentar.

Si $(\frac{1}{N}-P_m)(1-\frac{1}{N}-P_m)>0$, $\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}\frac{T^{(k+1)}}{T^{(k)}}<1$, y la población se extinguió.

Si $(\frac{1}{N}-P_m)(1-\frac{1}{N}-P_m)=0$, $\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}\frac{T^{(k+1)}}{T^{(k)}}=1$, y la población alcanzará un tamaño estable con el tiempo.

Las condiciones iniciales ($N_{d,m}^{(1)}$, $N_{d,f}^{(1)}$, $N_{n,m}^{(1)}$, $N_{n,f}^{(1)}$) no va a afectar a las conclusiones sobre si y sólo si estos valores son positivos.