Sé que para un anillo comutativo $A$y $A$-módulos $M$ y $N$, el conjunto de $E_A(M, N)$ de extensiones de $M$ $N$ puede equiparse con la suma de Baer que le da una estructura de grupo aditivo. Al parecer $E_A(M, N)$ es también isomorfo a $\mathrm{Ext}^1 (M, N)$ como un módulo de % de $A$. Pero, ¿cómo uno define la estructura de módulo $A$ $E_A(M, N)$?
Respuesta
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Deje $0 \to N \to X \to M \to 0$ ser un representante de un elemento $\zeta$$E_A(M,N)$. Deje $f$ cualquier $A$-módulo endomorfismo de $N$. Tenemos el diagrama de $$ \begin{array}{lllll} N & \stackrel\iota\hookrightarrow & X & \twoheadrightarrow & M \\ \downarrow f& &\downarrow & & \downarrow \\ N & \hookrightarrow & P & \twoheadrightarrow & M \end{array} $$ donde $P$ es el pushout de $f$$\iota$. Esto es sólo una parte de functoriality de $E_A$: el bottow fila es un representante de $E_A(f, N) (\zeta)$.
Ahora vamos a $a \in A$, y deje $f_a:N\to N$ ser el módulo de homomorphism $n\mapsto an$ (aquí se utiliza realmente la conmutatividad). Establecimiento $f=f_a$ en el diagrama anterior, la clase de la fila inferior representa la imagen de la clase de la parte superior bajo la acción de $a$.
Hay mucho para comprobar aquí: que la fila de abajo es realmente exacto, que esto indujo a una bien definida mapa sobre el conjunto de clases de equivalencia $E_A(M,N)$,... tenga en cuenta que esta construcción de la realidad, se convierte $E_A(M,N)$ en un $\operatorname{End}(M)$-$\operatorname{End}(N)$-bimodule, incluso para $A$ no-conmutativa. En la conmutativa caso nos acaba de pasar a tener el anillo de homomorphisms $A \to \operatorname{End}(M)$$A \to \operatorname{End}(N)$$a \mapsto f_a$.
