Prueba puramente combinatoria y la simplificación de la identidad que implica factoriales y sumatorias

Question

Al intentar descomponer factoriales en sumatorias, se me ocurrió la siguiente identidad $$(n+2)! = 2^{n+1} + \sum\limits_{k=0}^{n-1}\sum\limits_{i=0}^{n-1-k}\sum\limits_{S \subseteq [2,\ldots,n+1-i]\text{ where }|S|=k}^{}2^{i+1}\prod\limits_{t \in S}^{}t$$

Estoy buscando una puramente combinatoria prueba de la identidad y una manera de deshacerse del producto plazo (si es posible) sin necesidad de utilizar gran número de sumatorias.

Esta es la forma en que me derivados de la identidad (para algunos antecedentes):

La identidad puede ser demostrado mediante la definición de algunas de las funciones $f(i,j)$ siguiente $$f(i,j)=\sum\limits_{S \subseteq [2,\ldots,i+1] \text{ where }|S|=j}^{}\prod\limits_{t \in S}^{}t$$ (suponga $f(i,0)=1$) y darse cuenta de que $(n+2)! = f(n+1,n+1)$, con el siguiente recurrencia $$f(n+1,n+1)=2(f(n,0)+f(n,1)+f(n,2)+\cdots+f(n,n))$$ obtained from Vieta's formulas i.e. an expansion of $g(x)=(2+x)(3+x)(4+x)\cdots(n+1+x)$

A continuación, la aplicación de esta recurrencia en $f(i,i)$ recurrentemente en el por encima de recurrencia tenemos $$f(n+1,n+1)=2^{n+1} + \sum\limits_{k=0}^{n-1}\sum\limits_{i=0}^{n-1-k}2^{i+1}f(n-i,k)$$ and substituting $f(n-i,k)$ produce el deseo de identidad.

También, tenga en cuenta que por tocar el violín con la recurrencia de una manera diferente (telescopio), uno puede mostrar que $$(n+2)!=2\sum\limits_{k=0}^{n-1}\sum\limits_{i=0}^{n-1-k}f(n-i,k) + \sum\limits_{j=0}^{n+1}j!$$

Pero yo no ver inmediatamente cómo va a ser útil.

Answer 1

La matriz de Euler-números pueden ayudar aquí. Hay dos (sólo ligeramente) diferentes definiciones; vamos a utilizar el de la matriz, la cual comienza con $$ E=\pequeño \begin{bmatrix} 1 & . & . & . & . & . \\ 1 & 0 & . & . & . & . \\ 1 & 1 & 0 & . & . & . \\ 1 & 4 & 1 & 0 & . & . \\ 1 & 11 & 11 & 1 & 0 & . \\ 1 & 26 & 66 & 26 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ Se puede observar, que el rowsums son los factoriales (y de hecho esto es cierto incluso si el matrixsize se asume como infinito, o mejor: "es cierto que para cualquier tamaño").
Ahora hay arbitrariamente muchas posibilidades para definir algunos triangular de la matriz, en cuyas filas suma de los factoriales; sin embargo, esto es especial en el sentido de que las columnas puede ser visto como finitely compuesto por los coeficientes sólo de series geométricas y sus derivados. Por lo tanto, aunque la columna de sumas divergentes obviamente podemos-con algún argumento - asignar racional expresiones analíticas para la columna de sumas de dinero, incluso si algunos de ellos indican la existencia de polos.
Por ejemplo, si tratamos de sumar las primeras columnas, se llega a la expresión para la serie geométrica con un cociente de 1 $$ s_0 =_{\mid q=1} {1 \over 1-q} $$ Pero esto se vuelve más significativa, si se asumen las columnas de los coeficientes de potencia de la serie; así que si definimos algunos indeterminado de filas vector de tamaño infinito $V(x) = [1,x,x^2,x^3,...]$, entonces el punto-producto $$ V(x) \cdot E = Y $$ gives a vector $Y$ of geometric series in $x$ which are convergent for some small x (and important: for continuous intervals of x, so we'll be able to analytically continue our results) and can be expressed by rational expressions. So for instance $Y_0 = {1 \over 1-x}$ (where the suffix at $$ Y deberá indicar en la columna.
Para la siguiente columna se puede observar la composición de los coeficientes de la serie geométrica con cociente 2 y el derivado de que con un cociente de 1: $$ [1,2,4,8,16,.... ]-[1,2,3,4,5,...] =[0,0,1,4,11,...] $$ La derivada de la serie geométrica en $x$ tiene todavía una simple expresión racional $$ g(x) = \sum_{k=0}^\infty x^k = {1\over 1-x} \\ g^{(1)}(x) = {1\over (1-x)^2} $$ así $$Y_1 = {1\over 1-2x} - {1\over (1- 1x)^2} $$ y esto puede ser extendido para cada una de las siguientes columnas.

Serie geométrica son analíticamente continuable incluso para el divergentes caso y la igualdad de su expresión racional, incluso en el divergentes caso, con la excepción de uno de los polos en $x=1$ .

Así que lo que tenemos ahora es que $$ V(x) \cdot E = Y $$ para algunos pequeños intervalo de $x$, de continuación para toda la gama, excepto $x=1$ dando una bien definida de la fila-vector $Y$.

Por otro lado, la fila sumas de $E$ conocen a la suma de los factoriales, así que también lo podemos escribir $$ E \cdot V(1)^\tau = \Gamma^\tau \qquad \qquad \text{ where } \Gamma = [0!,1!,2!,3!,...] $$

Si tomamos esto en cuenta, tenemos algún argumento serio (por supuesto, no hay pruebas todavía) a esperar que nos puede evaluar mediante la explotación de las dos formas de asociatividad de la matriz producto-expresión $$ (V(x) \cdot E) \cdot V(1)^\tau = Y \cdot V(1)^\tau \\ = V(x) \cdot (E \cdot V(1)^\tau) = V(x) \cdot \Gamma^\tau $$ para algunos significativos $x$. Por ejemplo, si yo inserte $x=-1$ así definir la alternancia de la serie de los factoriales, llego (ya sea por la convergencia o, al menos, por el simple Eulersummation de la dotproduct) en $$ Y \cdot V(1)^\tau = \sum_{k=0}^\infty Y_k \underset{\mathfrak E}{=} 0.59634736... $$ as a linear transformation of $$ V(-1) \cdot \Gamma^\tau = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \cdot k! $$ en el que se evalúa entonces como la "Gompertz-constante"(wikipedia,mathworld) y que se esperaba que la alternancia de suma.

Todo esto será sólo para describir un ejemplar de manera significativa a introducir una combinación lineal de los factoriales, utilizable para un número-teóricas y problemas. No tengo las pruebas en la mano (y no creo que nunca pueda completar los requisitos formales - pero esto debe ser fácil para cualquier estudiante de número-en teoría dicen sus 2'nd año), así que espero que esto responda a su pregunta. Una discusión más detallada de la mina es que la página en la entrada de la Euleriano-matrixk (consulte la página $10$ ff; tenga en cuenta que para que el artículo he utilizado el Pari/GP-convenio para el vector/matriz transpuesta $M \sim $ y yo también uso los vectores como columnas los vectores como predeterminado, aunque he de decir $V(x)$ como un vector de fila aquí. Aún más involucrados discusión anterior se puede encontrar aquí)