Más pequeño no conmutativa anillo con unidad

Question

Encontrar el más pequeño de los no-anillo conmutativo con unidad. (Por más pequeño significa que tiene menos cardenal).

Traté de anillos de tamaño 4 y yo no encontró el anillo.

Answer 1

En una versión anterior de este post me causó un accidente por dar una respuesta incorrecta. Gracias a los que señaló el error! Aquí es un poco de actualización:

El anillo de $M_2(\Bbb F_2)$ $2 \times 2$- matrices con entradas en $\Bbb F_2$ es un no-conmutativa anillo con 16 elementos, debido a que $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$$ Tiene un sub-anillo de orden $8$, es decir, la parte superior triangular de matrices que son no-conmutativa por el ejemplo de arriba.

Nos muestran que $8$ es mínima:

Deje $R$ ser un número finito de anillo con unidad, con el $n$ elementos.

Necesitamos dos preliminares:

1.) Si el aditivo grupo es cíclica y, a continuación, $R$ es conmutativa.

Prueba: Si el grupo aditivo de $R$ es cíclica, es decir, podemos elegir $1$ como un generador: Si tenemos $0 = 1+\dots+1 = m \cdot 1$ algunos $m\in \Bbb N$, $0=(m\cdot 1) \cdot g = m\cdot(1\cdot g)=m\cdot g$ por lo que el aditivo orden de $1$ es máxima. Por lo tanto, la tabla de multiplicación de $R$ está determinado por $1 \cdot 1 = 1$, mostrando el $R \cong \Bbb Z/n \Bbb Z$ $R$ es conmutativa.

2.) Todos los anillos de la orden de $4$ son conmutativas. Prueba: Como resultado general, todos los anillos con el fin de, equivalente a un cuadrado de prime son conmutativas: Anillo de la orden de $p^2$ es conmutativa.

Por lo tanto, cualquier anillo de orden $1,2,3,5,6,7$ es descartado por 1.) el uso de la Sylow teoremas y $4$ es descartado por 2.).

Por lo $8$ es el mínimo de cardinalidad de un no-conmutativa anillo puede tener.

Answer 2

Cuando uno piensa en un no conmutativa anillo con unidad (al menos yo), tienden a pensar en cómo puedo crear un anillo con $M_n(R)$, el anillo de $n \times n$ matrices sobre el ring $R$. El más pequeño de tales anillo puede crear es $R=M_2(\mathbb{F}_2)$. Por supuesto, $|R|=16$. Ahora es una cuestión de si usted puede encontrar un anillo más pequeño que este. Por supuesto, el sub-anillo de superior/inferior triangular matrices de $R$ es un sub-anillo de orden $8$ que es un no conmutativa anillo con unidad. Este es de hecho el más pequeño de esos anillos.

De hecho, hay un no conmutativa anillo con unidad de orden $p^3$ para todos los números primos $p$. Consulte este documento para este y muchos otros más interesante/útil construcciones.

Answer 3

Aquí es otro enfoque: Vamos a $R$ ser un no-cero anillo con identidad detone su centro por $Z(R)$. Puede ser demostrado fácilmente que: Si $\frac {R}{Z(R)}$ es un grupo cíclico (con estructura aditiva), a continuación, $R$ es un anillo conmutativo.

Ahora desde $0,1 \in Z(R)$, entonces para cualquier anillo de $R$ $|R|< 8$ tenemos $|\frac{R}{Z(R)}| \leq 3$, lo que implica que $R$ es conmutativa (ya que cualquier grupo de orden $1,2$ o $3$ es cíclico) por lo Tanto el menor no conmutativo con identidad debe tener al menos $8$ elementos y no son esos anillos, por supuesto, como se menciona en otras soluciones. La cosa que me gustaría añadir es que no existe ningún otro ejemplo de otros que el anillo de triangular superior matrices de más de $\Bbb{Z}_2$ scince tenemos el siguiente teorema:

Deje $p$ ser un número primo y deje $R$ que no sea un anillo conmutativo con identidad y supongamos $|R| = p^3$ $R$ es isomorfo al anillo de triangular superior matrices de más de $\Bbb{Z}_p$.

También me gustaría añadir que en una manera similar podemos ver que el menor no conmutativa anillo (no es necesario con identidad) tiene orden de $4$. Como un ejemplo, considere el $R = \{ \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \; | \; a, b \in \Bbb{Z}_2\}$.

Answer 4

Como otros han señalado, la parte superior triangular $2\times 2$ matrices con entradas en $\mathbb{F}_2$ es un anillo más pequeño. Aquí es una manera de ver que es el más pequeño: la ciclicidad de los aditivos de grupo, como se comentó anteriormente, las reglas de las órdenes $1,2,3,5,6,7$.

Como para $4$, no es difícil ver que cualquier anillo con unidad de orden $p^2$ es conmutativa: es cíclico o el aditivo subgrupo generado por a $1$ oder $p$; por lo tanto, hay un elemento $x$ que no está en este subgrupo, de donde $R$ debe ser un cociente de $\mathbb{Z}/p[t]$ través $t\mapsto x$ desde el $x$ elemento necesariamente conmutan con todos los elementos del subgrupo aditivo $\langle 1\rangle$.