Función Zeta de Riemann y continuación analítica

Question

La función zeta de Riemann se define como $ \displaystyle \zeta(s) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$ . No es absolutamente convergente ni condicionalmente convergente para $\text{Re}(s) \leq 1$ . Utilizando la continuación analítica, se puede derivar el hecho de que $\displaystyle \zeta(-s) = -\frac{B_{s+1}}{s+1}$ donde $B_{s+1}$ son los números de Bernoulli. ¿Se puede obtener este resultado sin recurrir a la continuación analítica?

Answer 1

¿Qué son los números complejos de Bernoulli?

http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number

Los números de Bernoulli sólo se definen para los números naturales.

Así que probablemente te refieras a $s$ siendo un número entero. Como KCrad señala en los comentarios: Euler ha demostrado una ecuación funcional para la función zeta de Riemann antes que Riemann utilizando integrales y sólo para números reales, por lo que es un método.

Pero si se complementan valores complejos en la integral, se vuelve a la continuación analítica, por lo que la respuesta es muy probablemente no.

Por ejemplo, ¿tiene una buena heurística por qué $\zeta(-1) =1+2+3+\dots = 1/12$ ?

Answer 2

Utilizando la suma de Euler--MacLaurin, se puede obtener la siguiente fórmula para $\zeta(s)$ :

$$ \zeta(s) = \frac{1}{s-1}+\frac{1}{2} + \frac{B_2}{2} s + \cdots \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$ $$ \cdots + \frac{B_{2k}}{(2k)!}s(s+1)\cdots (s + 2k-2) + \frac{s(s+1)\cdots(s+2k-1)}{(2k)!}f(s), $$ donde $f(s)$ es una integral que incluye $s$ que converge cuando $\Re(s) > -2k$ . (Mi referencia favorita para $\zeta(s)$ es el libro de Edwards Función zeta de Riemann . Esta fórmula particular se obtiene estableciendo $N = 1$ en la fórmula (1) de la página 114).

Así que esto da una fórmula para $\zeta(s)$ que se define cuando $\Re(s) > -2k$ . Si se sustituye en $s = -2k+1$ se obtendrá (después de un poco de reordenamiento) que $\zeta(-(2k-1)) = -B_{2k}/2k.$

Por supuesto, se trata de una forma de continuación anaytica (como otros han señalado, es difícil hacer sesne de lo que $\zeta(-(2k-1))$ significaría lo contrario). Pero quizás sea un poco diferente al enfoque estándar.

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AÑADIDO: Un enfoque que parece bastante diferente a la continuación analítica --- al menos al principio --- es el enfoque de regularización abeliana utilizado por Euler. (Por favor, disculpen el anacronismo de etiquetar el método de Euler con el nombre de Abel). Esto se discute en algunas de las respuestas a esta pregunta .

La idea es primero multiplicar por $(1-2^{-s+1})$ que elimina el polo en $s=1$ y sustituye $\zeta(s)$ mediante la función $\eta(s):= \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n^{-s}$ . (Es evidente que si podemos evaluar $\eta(s)$ podemos evaluar $\zeta(s)$ , simplemente dividiendo por $(1-2^{-s+1})$ .) Entonces, se calcula $\eta(-k)$ mediante la siguiente fórmula: $$\eta(-k) = \lim_{T \to 1} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n^k T^n.$$ La cuestión es que la serie en $T$ converge (cuando $|T| < 1$ ) a una función racional de $T$ , que luego podemos evaluar en $T = 1$ .

Este método conduce directamente a la fórmula habitual en términos de números de Bernoulli. También se puede relacionar con la descripción habitual de $\zeta(s)$ (o --- equivalentemente --- $\eta(s)$ ) mediante la continuación analítica (considerando la función de dos variables $\sum_n (-1)^n n^{-s} T^n$ ), pero es el enfoque que conozco que es a priori más alejada de la continuación analítica.