Hemos propuesto esta suma, pero carecemos de conocimientos de esta área de las matemáticas y les pedimos que si alguno de los autores estarían dispuesto a mostrar nosotros paso a paso cómo probar esta suma. $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^nn[n(\pi^3+1)+\pi^2](n^2+n-1)}{(2n+1)(2n+3) {n \choose de 2n}} = 1 + \pi + \pi^2 + \pi^3 + \pi^4 $$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Ákos Somogyi
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Generalmente, las siguientes sumas pueden ayudar: $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{\binom{2n}{n}}=4 \left(\frac{1}{4-x}+\frac{\sqrt{x} \arcsin\left(\frac{\sqrt{x}}{2}\right)}{(4-x)^{3/2}}\right) $$ $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{nx^n}{\binom{2n}{n}}=\frac{\partial}{\partial x}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+1}}{\binom{2n}{n}}-\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n}}{\binom{2n}{n}} $$ $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{\binom{2n}{n}(2n+1)}=\frac{4 \arcsin \left(\frac{\sqrt{x}}{2}\right)}{\sqrt{(4-x) x}} $$ $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{\binom{2n}{n}(2n+3)}=-\frac{4 \left(2 \sqrt{(4-x) x}+(x-8) \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}}{2}\right)\right)}{\sqrt{4-x} x^{3/2}}$$
Derivación de la tercera línea de la primera, es la siguiente: $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{\binom{2n}{n}}=f(x) $$ $$ C+\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n}}{\binom{2n}{n}(2n+3)}=\frac{1}{x^3}\int\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+2}}{\binom{2n}{n}}\mathrm{d}x=\frac{1}{x^3}\int f(x)x^2\mathrm{d}x $$ Donde $C$ debe corresponder al valor en $x=0$+ hay algunos criterios de convergencia que debe ser revisado. También $$ \frac{n[n(y^3+1)+y^2](n^2+n-1)}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2}\frac{n[n(y^3+1)+y^2](n^2+n-1)}{(2n+1)}-\frac{1}{2}\frac{n[n(y^3+1)+y^2](n^2+n-1)}{(2n+3)} $$ Y luego: $$ \frac{1}{2}\frac{n[n(y^3+1)+y^2](n^2+n-1)}{(2n+1)}=\frac{n^3 \left(8 y^3+8\right)+n^2 \left(-4 y^3+8 y^2-4\right)+n \left(-2 y^3-4 y^2-2\right)+3 y^3-2 y^2+3}{32}+\frac{-9y^3+6y^2-9}{2n+1} $$
La aplicación de estos, y un poco más de forma similar obtenidos de las fórmulas, puede ayudar. No podría ser un mejor enfoque, con menos de cálculo. (y puede haber algunos errores). Finalmente conecte $x=2$ $y=\pi$
Marco Cantarini
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Una muy aburrido enfoque. Podemos escribir la serie como $$\left(\pi^{3}+1\right)\sum_{n\geq0}\frac{2^{n}n^{4}}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)\dbinom{2n}{n}}+\left(\pi^{3}+\pi^{2}+1\right)\sum_{n\geq0}\frac{2^{n}n^{3}}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)\dbinom{2n}{n}} $$ $$+\left(-\pi^{3}+\pi^{2}-1\right)\sum_{n\geq0}\frac{2^{n}n^{2}}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)\dbinom{2n}{n}}-\pi\sum_{n\geq0}\frac{2^{n}n}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)\dbinom{2n}{n}}. $$ Now using the identity $$\sum_{n\geq0}\frac{4^{n}x^{2n+2}}{\left(2n+1\right)\dbinom{2n}{n}}=\arcsin^{2}\left(x\right) $$ we have that, integrating both side and manipulating a bit, $$\sum_{n\geq0}\frac{2^{n}\left(\sqrt{2}x\right)^{2n}}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)\dbinom{2n}{n}}=\frac{2\sqrt{1-x^{2}}\arcsin\left(x\right)-2x+x\arcsin^{2}\left(x\right)}{x^{3}} $$ then if we differentiate $$-\pi\sum_{n\geq0}\frac{2^{n}n}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)\dbinom{2n}{n}}=-\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\frac{d}{dx}\left.\frac{2\sqrt{1-x^{2}}\arcsin\left(x\right)-2x+x\arcsin^{2}\left(x\right)}{x^{3}}\right|_{x=1/\sqrt{2}} $$ $ $ =-\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\left.\frac{-6\sqrt{1-x^{2}}\arcsin\left(x\right)+6x-2x\arcsin^{2}\left(x\right)}{x^{4}}\right|_{x=1/\sqrt{2}}=\frac{\pi^{3}}{8}+\frac{3\pi^{2}}{2}-6\pi. $$ We can iterate this process and from $$\sum_{n\geq0}\frac{2^{n}n\left(\sqrt{2}x\right)^{2n}}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)\dbinom{2n}{n}}=\frac{-3\sqrt{1-x^{2}}\arcsin\left(x\right)+3x-x\arcsin^{2}\left(x\right)}{x^{3}} $$ we can differentiate again $$\sum_{n\geq0}\frac{2^{n}n^{2}}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)\dbinom{2n}{n}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\frac{d}{dx}\left.\frac{-3\sqrt{1-x^{2}}\arcsin\left(x\right)+3x-x\arcsin^{2}\left(x\right)}{x^{3}}\right|_{x=1/\sqrt{2}} $$ y así sucesivamente. Soy demasiado perezoso para completar los cálculos, así que os dejo los detalles para una persona que lo desea.
