Encontrar un plano con la distancia $3$ $3x-y-z = 0$

Question

Necesito encontrar un plano tales que su distancia desde el plano de $3x-y-z = 0$$3$. Puesto que la distancia es definida sólo por planos paralelos, ya sé que tienen que ser paralelas, y luego, la ecuación de el nuevo avión tendrá el mismo vector normal $(3,-1,-1)$.

También, este plano se une con el origen, porque en $(0,0,0)$ satisface su ecuación. Así que mi idea era normalizar el vector normal, y luego se multiplica por $3$. Entonces yo podría ponerlo en el origen y la ven como un punto de distancia $3$ desde el origen (y también desde el plano) y, a continuación, este punto debe ser en el nuevo avión, por lo que se debe satisfacer es la ecuación, la cual es:

$$3x-y-z + d = 0$$

Creo que este migth trabajo, pero yo no creo que sea la mejor forma de resolver este ejercicio.

Un amigo mío me envió una solución como esta:

$$3(x-x_0) -1(y-y_0) -1(z-z_0) = 0 \\3x -y -z + (-3x_0 +y_0+z_0) = 0$$

a continuación, debemos encontrar las $P = (x_0,y_0,z_0)$ tal que $-3x_0 +y_0+z_0 = 0$. A continuación, $3P$ debería ser un punto de el nuevo avión, y por lo tanto satisfacer su nueva ecuación.

¿Cuál es la mejor manera de resolver esto, y podría explicar mi lo que hizo mi amigo en su solución?

Answer 1

Ecuación del plano paralelo al plano dado: $3x-y-z=0$ $$3x-y-z+c=0 $ $ donde es $c$ una constante arbitraria. Ahora, usando $\color{blue}{\text{distance formula for parallel planes}}$ de la siguiente manera $$\frac{\left|c-0\right|}{\sqrt{(3)^2+(-1)^2+(-1)^2}}=3$$ $$\left|c\right|=3\sqrt{11}$$ $$c=\pm 3\sqrt{11}$$ Hence, there are two parallel planes at distance $3 $ on either side to the given plane: $3 x-y-z = 0$. Hence, the equations of unknown planes $% $ $\color{blue}{3x-y-z\pm3\sqrt{11}=0}$

Editar: en general, la distancia entre cualquier dos planos paralelos: $ax+by+cz+d_1=0$ & $ax+by+cz+d_2=0$ es %#% $ #%

Answer 2

Decidí añadir el comentario que hizo como una solución. Creo que esto es un poco más intuitivo para mí. La solución planteada por Harish es bonita también y me refiero a nada por la declaración "no sería más fácil" desde su todo acerca de sus preferencias personales.