Esto es la generalización categórica derecha del espacio dual

Question

Motivatation

Actualmente estoy buscando una estructura que estoy tratando de definir mi estrategia para tirar de la cosa en la mayor generalidad posible (basado en los bits estoy seguro acerca de) y se estrecha hacia abajo desde allí.

La situación que tengo es algo similar a la doble estructura de espacio en espacios vectoriales, aunque casi seguro que menos se portan bien y espacios vectoriales solo no se corte.

La Construcción

Considere la posibilidad de un espacio vectorial $V$ sobre un campo $k$- su espacio dual $V^*$ aparece naturalmente como el conjunto lineal de mapas

$$w^* : V \to k$$

que, coincidentemente, se forma un espacio vectorial en sí mismos. Podemos generalizar esta arbitraria de las categorías $A$, $B$, $C$ mediante el establecimiento $B=hom(A,C)$. Entonces, al menos en algún sentido, $B=A^*$. Tan lejos y tan estándar, pero quiero más: una bonita propiedad de dos espacios es que un elemento de $V \otimes V^*$ puede ser canónicamente visto como un elemento de $hom(V,V)$- esto es debido a la forma en que $k$ actúa en $V$ por multiplicación. Podemos imitar esta dejando $C$ ser un monoid actuando en $A$.

En resumen: Una categoría $A$ utilizado por un monoid $C$ y un doble A $A^*:=hom(A,C)$

Estoy particularmente interesado en al $A$ es también un monoid, especialmente cuando $A$ es un espacio de matrices estocásticas.

Preguntas:

Así que esto no es demasiado improbable que una construcción, de hecho, es probablemente la frente-slappingly bien conocidos, por lo que:

• ¿Qué es lo que se llama, si nada?
• ¿En qué casos podemos tener $A=B=C$? Es que es necesariamente una permutación de grupo, por ejemplo?
• ¿Hay algún útil ejemplos canónicos, además de espacios vectoriales?
• Mejor aún, teoremas??? Los papeles???

Como usted probablemente puede decir, yo no soy la categoría teórico, por lo que cualquier ayuda sería impresionante.

Answer 1

Yo creo que el derecho a la generalización de la doble espacios es la de un doble objeto en un tensor de la categoría, que voy a asumir simétrica para su comodidad.

Recordar lo que hace que un espacio dual de un espacio vectorial de trabajo: contamos con un mapa $V \times V^* \to k$ ($k$ el campo de tierra). El problema es que esto no es un homomorphism en la categoría de espacios vectoriales, es más bien una bilineal mapa. Así que usted puede pensar en él como un mapa de $V \otimes V^* \to k$ lugar. Esta es la razón por la que necesita un tensor de estructura para pensar duales.

Esto no es suficiente, sin embargo, porque necesitamos saber que el emparejamiento es no degenerada. Una forma de expresar esto es que hay un mapa de $k \to V \times V^*$ asignación 1 a la "Casimir elemento" (que es la suma de $\sum e_i \otimes e_i^{\vee}$ donde $e_i$ rangos de más de una base de $V$ $e_i^{\vee}$ la base dual; es independiente de la elección de $e_i$ como un rápido cálculo de muestra). El Casimir de morfismos satisface la condición de que $V \to (k) \otimes V \to (V \otimes V^*) \otimes V \to V \otimes (V^* \otimes V)$ es la identidad.
Por el contrario, esto es suficiente para demostrar que la vinculación es no degenerada.

Así que, de todos modos, ¿cómo funciona este sentido simétrica del tensor de la categoría? Básicamente, $V$ es el objeto, $V^*$ la supuesta doble, y $k$ sustituye por el unital objeto. Esta definición es totalmente flecha-teórica, y todo pasa a través de la forma habitual. Es un ejercicio para comprobar que el dual es único.

Algunos ejemplos:

1. Esto coincide con la habitual doble en la categoría de espacios vectoriales

2. Esto coincide con el doble gavilla si uno está trabajando en la categoría de local libre de poleas en un esquema de

3. Esto corresponde a los dos (contragredient) la representación en la (tensor) categoría de representaciones de cualquier álgebra de Hopf (por lo que este incluye representaciones de grupos finitos y álgebras de Lie)

Oh, ¿y qué pasa si usted no tiene un simétrica del tensor de la categoría? Entonces usted tiene que preocuparse acerca de "izquierda" y "derecha" duales, respectivamente. Para más información sobre todo esto, recomiendo las notas de Pavel Etingof en el tensor de categorías.

Answer 2

Usted puede discutir duales en una categoría monoidal (que no puede ser simétrica). Esto ha sido mencionado por Akhil.

Deje $V$ $W$ ser objetos (en su categoría monoidal) con $K$ la identidad para el producto tensor. A continuación, necesita morfismos $K\rightarrow V\otimes W$ $W\otimes V\rightarrow K$ que cumplen con el zig-zag de las identidades (llamada así porque esto se hace evidente si se dibuja la cadena de diagramas).

Formalmente, el zig-zag de las identidades $$V=K\otimes V\rightarrow V\otimes W\otimes V\rightarrow V\otimes K=V$$ es el mapa de identidad y $$W=W\otimes K\rightarrow W\otimes V\otimes W\rightarrow K\otimes W=k$$ es el mapa de identidad.

Esto es equivalente a $Hom(W\otimes X,Y)=Hom(X,V\otimes Y)$ $Hom(X\otimes V,Y)=Hom(V,Y\otimes W)$ (tanto naturales en $X$ y en $Y$.

Entonces usted dice $V$ es de izquierda/derecha doble a $W$ $W$ es de derecha/izquierda dual a $V$ (Nunca recuerdo cual). Entonces podemos definir el $V$ dual a $W$ si es dual izquierda y a la derecha dual.