Funcionar con $f(a)-f(b)$divisoria $a^3-b^3$

Question

¿Cuáles son todas las funciones $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tal divide a que $f(a)-f(b)$ $a^3-b^3$ % todo $a,b\in\mathbb{Z}$tal que $f(a)\neq f(b)$?

Las funciones constante satisfacen vacuously y tanto $f(x)=x+c$ $f(x)=-x+c$ trabajos y para cualquier $c\in\mathbb{Z}$. Mismo con $f(x)=x^3+c$ y $f(x)=-x^3+c$. ¿Hay otras funciones?

Edit: como Meelo señaló, cualquier función con el rango que abarca sólo dos obras de enteros consecutivos, desde $\pm1$ divide todo.

Answer 1

¿Y qué pasa

Answer 2

Algunos resultados parciales.

Podemos suponer $f(0) = 0$: cualquier otra solución puede ser obtenida a partir de una solución de esta forma por la adición de una constante.

Esto implica, para todos los $n$, $f(n) = 0$ o $f(n) \mid n^3$.

Lema: Supongamos que $f(n) \notin \{ -1, 0, 1 \}$$\gcd(m,n) = 1$. A continuación, $f(m) \neq 0$

Prueba: Supongamos lo contrario. A continuación,$f(n) \mid n^3 - m^3$, lo que implica $f(n) \mid m^3$. Debido a $\gcd(m,n)=1$$f(n) \mid n^3$, esto implica $f(n) = \pm 1$, que contradice nuestra hipótesis. $\square$

Si $f$ tiene valores distintos de $-1, 0, 1$, que implica la $f(1) = \pm 1$. Podemos suponer $f(1) = 1$: cualquier otra solución puede ser obtenida a partir de esta multiplicando $f$$-1$. (Yo, por supuesto, seguir asumiendo $f(0) = 0$)

Lema: Si $f(1) = 1$, a continuación, para cada positivos primer número, $f(p) \in \{ -1, 0, 1, p, p^3 \}$.

Prueba: Si $f(p) \neq 0$, luego tenemos a $f(p) - 1 \mid p^3 - 1$$f(p) \mid p^3$. Una exhaustiva comprobación de todos los 8 de posibilidades para $f(p)$ revela que sólo el cuatro mencionados anteriormente de trabajo. Por ejemplo, $$\gcd(-p^2 - 1, p^3 - 1) = \gcd(-p^2 - 1, -p-1) \neq p^2 + 1$$ and so we can't have $f(p) = -p^2$. $\square$