Resolver una ecuación con cuatro radicales anidados

Question

Tengo que resolver la ecuación de $\sqrt{x-{\sqrt{x-{\sqrt{x-{\sqrt{x-5}}}}}}}=5$.

Cuadratura repetida de ambos lados de la ecuación es muy complejo.

¿Hay alguna sustitución o algo similar que puede simplificar el problema?

¿El problema tiene una solución si "generalizada" $\sqrt{x-{\sqrt{x-{\sqrt{x-{\sqrt{x-n}}}}}}}=n$?

Answer 1

Vamos juntos hicimos la sugerencia dada en los comentarios. Vamos a abordar el caso general, bajo el supuesto de $n\geq 1$. Claramente, $x=\color{red}{n(n+1)}$ es una solución de la ecuación dada, ya que es una solución de $\sqrt{x-n}=n$. Por lo que es suficiente para probar que es la única solución. Por simplicidad, vamos a $$ f_1(x)=\sqrt{x-n},\qquad f_2(x)=\sqrt{x-f_1(x)},$$ $$f_3(x)=\sqrt{x-f_2(x)},\quad f_4(x)=\sqrt{x-f_3(x)}$$ y $I=(n,+\infty)$. $f_1(x)$ y $f_3(x)$ son crecientes y funciones positivas en $I$, debido al hecho de que $$ \sqrt{y-n}-\sqrt{x-n} = \frac{y-x}{\sqrt{y-n}+\sqrt{x-n}} $$ tiene el mismo signo de $y-x$. Eso también implica que $f_3(x)$ está muy cerca de a $\sqrt{x}$. En particular, se puede afirmar que el $f_4(x)$ es el aumento en $I$ (como una cuestión de hechos, no es) pero se puede decir que $f_4(x)$ es el aumento en $J=(n+1,+\infty)$. Ya que cada solución de $f_4(x)=n$ tiene que ser mayor que $n+1$, se deduce que el $x=n(n+1)$ es la única solución, como quería.

Answer 2

Por el momento, olvida la cuestión y considerar esta ecuación. \sqrt{x-p}=p $$ $$ es fácil ver que: $$ x-p = p ^ 2 \\ ahora considerar \implies x=p(p+1) $$: $$ x-\sqrt {x-p} = x p = k \\ x-\sqrt{x-\sqrt{x-p}}=x-\sqrt{k}=x-\sqrt{x-p}=x-p=p^2 $$ y así sucesivamente. Es fácil ver que la solución de $x$ siempre $p(p+1)$.