¿El $5x + 1$ ¿La secuencia de 7 llega a una potencia de 2 o se queda en un punto?

Question

Esto es muy parecido a la $3x + 1$ iteración, salvo que si $x$ es impar, lo haces $5x + 1$ [y $\frac{x}{2}$ si $x$ es incluso]. Si $x = 7$ ...entonces tenemos 7, 36, 18, 9, 46, 23, 116, 58, 29, 146, 73, 366, 183, 916, 458, 229, ...

He iterado esto veinte mil veces y no he encontrado ninguna potencia de 2. También es posible que haya un punto, pero es tan grande que no lo detecto. Y también es posible que me haya equivocado en alguna parte del camino.

Seguramente alguien más ha calculado esto, aunque $5x + 1$ no es tan famoso como $3x + 1$ . He probado con otros arranques $x$ y se ha visto que rápidamente llegan a un punto. ¿Alguien ha determinado lo que sucede con $x = 7$ ?

Answer 1

En el caso de Lagarias papel de 1985, menciona (al final de la p. 12) esta variación (5x+1). Dice que los modelos estocásticos predicen que casi todas las órbitas escapan al infinito. Sin embargo, esto es sólo una heurística; no se demostró (en 1985) que ni siquiera una sola órbita escapa al infinito. Él llama a esto problema abierto (C3), en la página 22. Parece que sigue abierto hacia 2006, pues aquí hay un artículo de Volkov, lamentablemente de pago, que continúa el estudio de este problema. Volkov da tres ciclos, y evidencia computacional (y heurística) de que todas las demás órbitas divergen.

Answer 2

Esto me está dando un deja vu de hace siglos, pero no sé si es porque realmente encontré la respuesta y luego la olvidé. Así que no estoy seguro de si llega a un período que ha evadido la detección por usted y sus colegas. Lo que sí te puedo decir es que seguro que no llega a una potencia de $2$ . Consideremos la secuencia modulo $8$ :

$$7, 4, 2, 1, 6, 7, 4, 2, 5, 2, 1, 6, 7, 4, 2, 1, \ldots$$

Para que esto alcance una potencia de $2$ Tendría que golpear $4$ sí mismo.

Answer 3

esta es una copia de una respuesta más antigua en math.SE, ver la pregunta duplicada aquí . Su número tiene el número $35$ como pre-precedente y su recorrido se puede ver en las imágenes de abajo.

Aquí hay algunas imágenes para su/nuestra intuición. He graficado las trayectorias para los valores iniciales $x=5,15,25,...$ para la primera $256$ pasos de $x_{k+1}=(5x_k+1)/2^A$ .
Para llevar las curvas a un intervalo visual significativo, muestro las escalas logarítmicas. Las imágenes muestran cómo la mayoría de las trayectorias comienzan a divergir (no es realmente una indicación segura de qué característica tienen realmente las curvas infinitas), pero algunas muestran ciclismo ya en los primeros índices de iteración $k$ .

Encuentro $2$ ciclos además del "trivial".

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$x=5,15,25,35,...,95$ detalle de las primeras iteraciones . En la parte inferior vemos el estilo "trivial" (curva marrón):

$x=5,15,25,35,...,95$ primero $2^8 = 256$ iteraciones. En los índices de iteración posteriores $k$ se produce un primer ciclo "no trivial" (línea roja):

$x=105,115,125,135,...,195$ primero $2^8 = 256$ iteraciones .

$x=205,215,225,235,...,295$ primero $2^8 = 256$ iteraciones . Aquí se hace visible un segundo ciclo "no trivial":

$x=205,215,225,235,...,295$ primero $2^{11} = 2048$ iteraciones
Parece realmente que todas las trayectorias que son divergentes hasta la iteración $k=256$ también son divergentes hasta la iteración $k=2048$ . En general: Dudo que haya ciclos "posteriores":

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