Estaba intentando crear una fórmula para la función Prime Zeta y lo conseguí parcialmente excepto por un error frustrante. Sólo fui capaz de formular una aproximación.
Considera la siguiente suma: $$f_k(s)=\sum_{q\space\nmid\space{p_{n\le k}}}^\infty \frac 1{q^s}$$
Es la suma infinita de los recíprocos de todos los números, elevados a la potencia s, que no son divisibles por ningún primo menor o igual que el k el primero.
Por ejemplo, $f_1(s)=1+\frac 1{3^s}+\frac 1{5^s}+\frac 1{7^s}+\frac 1{9^s}+\frac 1{11^s}+\frac 1{13^s}+\frac 1{15^s}+\cdots$
$\qquad\qquad\quad$ $f_2(s)=1+\frac 1{5^s}+\frac 1{7^s}+\frac 1{11^s}+\frac 1{13^s}+\frac 1{17^s}+\frac 1{19^s}+\frac 1{23^s}+\frac 1{25^s}+\cdots$
Tomando $f_k(s)-({p_{k+1}}^{-s})f_k(s)$ terminamos con $f_{k+1}(s)$ . En otras palabras $$f_k(s)\left(\frac {{p_{k+1}}^s-1}{{p_{k+1}}^s}\right)=f_{k+1}(s)$$
Por lo tanto, puesto que definimos $f_0(s)=\zeta(s)$ está claro que $$f_k(s)=\zeta(s)\left(\prod_{n=1}^k\frac {{p_n}^s-1}{{p_n}^s}\right)$$
También puede demostrarse que $$f_k(s)=\zeta(s)\left(\frac {P(k,s)^2-P(k,2s)}2-P(k,s)+1\right)$$ donde $P(k,s)$ es la función zeta de primo parcial: $$P(k,s)=\sum_{p\in primes}^k \frac 1{p^s}$$
Aquí es donde me topé con un obstáculo. Quiero igualar las dos ecuaciones anteriores para $f_k(s)$ así: $$f_k(s)=\zeta(s)\left(\prod_{n=1}^k\frac {{p_n}^s-1}{{p_n}^s}\right)=\zeta(s)\left(\frac {P(k,s)^2-P(k,2s)}2-P(k,s)+1\right)$$ En teoría, deberían ser iguales, pero cuando los pruebo, resultan ser ligeramente diferentes, sobre todo en el caso de los más grandes. k . ¿Por qué? No se me ocurre ni una sola razón para que sean desiguales.
Si fueran perfectamente iguales, entonces $$P(s)=\lim\limits_{x \to \infty} \left(1-\sqrt{\frac 2{\zeta(2^0s)}-\sqrt{\frac 2{\zeta(2^1s)}-\sqrt{\frac 2{\zeta(2^2s)}-\cdots-\sqrt{\frac 2{\zeta(2^xs)}-1}}}}\right)$$ Sin embargo, sólo son casi iguales, por lo que se trata simplemente de una aproximación.
