Integrar

Question

a) calcular la siguiente integral:

$ \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\ln(2-x)}{2-x^{2}}dx $;

b) probar que $ f(1+0)=\ln 3 $, donde $ f(x)=\displaystyle\int_{x}^{x^{3}}\frac{1}{\ln t}dt $.

He intentado resolver por sustitución o integración parcial, pero ninguno de ellos funcionó para mí.

Answer 1

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Deje $I$ denotar el valor de la integral definida,

$$I:=\int_{0}^{1}\frac{\ln{\left(2-x\right)}}{2-x^{2}}\,\mathrm{d}x\approx0.215993.$$

Uno podría, por supuesto, calcular el $I$ por fuerza bruta en términos de dilogarithms y, a continuación, emplear polylog identidades para reducir el número de independientes de dilogarithm términos que aparecen en el resultado tanto como sea posible. Pero esta estrategia es parecida a la fisuración cacahuetes con un martillo. El resultado final es, en realidad, de primaria, y el uso inteligente de la simetría puede evitar cualquier mención de dilogs por completo:

$$\begin{align} I &=\int_{0}^{1}\frac{\ln{\left(2-x\right)}}{2-x^{2}}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{1}\frac{\ln{\left(1+t\right)}}{2-\left(1-t\right)^{2}}\,\mathrm{d}t;~~~\small{\left[x=1-t\right]}\\ &=\int_{0}^{1}\frac{\ln{\left(1+t\right)}}{1+2t-t^{2}}\,\mathrm{d}t\\ &=\int_{1}^{0}\frac{\left(1+u\right)^{2}\ln{\left(\frac{2}{1+u}\right)}}{2\left(1+2u-u^{2}\right)}\cdot\frac{\left(-2\right)}{\left(1+u\right)^{2}}\,\mathrm{d}u;~~~\small{\left[t=\frac{1-u}{1+u}\right]}\\ &=\int_{0}^{1}\frac{\ln{\left(\frac{2}{1+u}\right)}}{1+2u-u^{2}}\,\mathrm{d}u\\ &=\int_{0}^{1}\frac{\ln{\left(2\right)}}{1+2u-u^{2}}\,\mathrm{d}u-\int_{0}^{1}\frac{\ln{\left(1+u\right)}}{1+2u-u^{2}}\,\mathrm{d}u\\ &=\ln{\left(2\right)}\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}u}{1+2u-u^{2}}-I,\\ \end{align}$$

y así,

$$\begin{align} I &=\frac12\ln{\left(2\right)}\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}u}{1+2u-u^{2}}\\ &=\ln{\left(\sqrt{2}\right)}\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}v}{2-v^{2}};~~~\small{\left[u=1-v\right]}\\ &=\frac{\ln{\left(\sqrt{2}\right)}}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{\mathrm{d}w}{1-w^{2}};~~~\small{\left[v=\sqrt{2}\,w\right]}\\ &=\frac{\ln{\left(\sqrt{2}\right)}}{\sqrt{2}}\tanh^{-1}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}.\blacksquare\\ \end{align}$$

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$I = \int_{0}^{1}\frac{\ln(2-x)}{2-x^{2}}dx = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \int_{0}^{1}\frac{\ln(2-x)}{(\sqrt{2}-x)}dx + \int_{0}^{1}\frac{\ln(2-x)}{(\sqrt{2}+x)} dx \right)$$

La primera integral podría ser reescrita como

$$I_1 = \int^{\sqrt{2}}_{\sqrt{2}-1}\frac{\ln(2-\sqrt{2})+\log(1+t/(2-\sqrt{2}))}{t}dt$$

Ahora usando

$$\mathrm{Li}_2(x) = - \int^x_0 \frac{\log(1-t)}{t} \,dt$$

Obtenemos

$$I_1 = \log(2-\sqrt{2})\log(\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)+\mathrm{Li}_2(-1/\sqrt{2}) - \mathrm{Li}_2(-1 - \sqrt{2})$$

Del mismo modo

$$I_2 = \log-\log(2) (\sqrt {2} - 1) + \mathrm{Li}_2(1-1/\sqrt{2})-\mathrm{Li}(2-\sqrt{2})$$

Por último, tenemos

$$I_1+I_2 = -\log(2) \log(\sqrt{2}-1 ) + \mathrm{Li}_2(1 - 1/\sqrt{2}) -\mathrm{Li}_2(2 - \sqrt{2})+\\\log(2-\sqrt{2})\log(\sqrt{2}(\sqrt{2}+1))+\mathrm{Li}_2(-1/\sqrt{2}) -\mathrm{Li}_2(-1 - \sqrt{2}))$$

Y

$$I = \frac{I_1+I_2}{2\sqrt{2}}$$