¿Cualquier prueba aseado que $0$ es la única solución de la ecuación de $4^x+9^x+25^x=6^x+10^x+15^x$?

Question

Es obvio que tanto las $f(x)= 4^x+9^x+25^x$ $g(x)=6^x+10^x+15^x$ son estrictamente monótona creciente de funciones. También es fácil comprobar que 0 es una solución de la ecuación. También me gráfico de las funciones, y se ve que para cualquier $x$, $f(x)>g(x)$, que puede ser de algún modo a prueba mediante el estudio de la derivada de la $h(x)=f(x)-g(x)$ y mostrando que $(0,0)$ es un mínimo absoluto punto de $h(x)$. Sin embargo $h(x)$ es una función con un poco de desorden derivado, y no se ve fácil(para mí) para encontrar los ceros de la derivada.

¿Alguien, conoce a un elegante prueba(tal vez de una escuela primaria, sin derivados) para este problema?

Answer 1

SUGERENCIA: $$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ $

Answer 2

Puesto que la cuestión está ya resuelta para la versión continua, pensé que sólo sería añadir (para la diversión!) una prueba corta para el caso en que $x$ es un número entero: $x \geq 1$, los dos lados no son iguales cuando reduce modulo diez. Así, la solución del único número entero es $x=0$, que trabaja. "QED"