Encontrar una base integral

Question

Dejemos que $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ donde $\alpha$ tiene un polinomio mínimo $X^3-X-4$ . Encuentre una base integral para $K$ .

He calculado que el discriminante del polinomio mínimo es $-2^2 \times 107$ por lo que el anillo de enteros algebraicos está contenido en $\frac{1}{2}\mathbb{Z}[\alpha]$ . Pero no sé cómo encontrar entonces una base integral.

Answer 1

Como en el enlace de Gerry se supone que hay que comprobar si hay algún entero algebraico entre los siete : $\Sigma_{i=0}^2 a_i \alpha^i/2$ , donde $a_i$ son $0$ o $1$ y no todos son $0$ .
Ahora, después de algunos cálculos (algunos minutos quizás), uno encuentra que el único entre ellos que es un entero algebraico es: $(\alpha+\alpha²)/2$ que satisface el polinomio irreducible: $x^3-x²-3x-2$ .
Sustituir $\alpha²$ por $(\alpha+\alpha²)/2$ en la base, se encuentra entonces que el discriminante se convierte en $-107$ por la fórmula de transición. Por lo tanto, se trata de una base integral, como se requiere.
P.D. Dado que esto está sujeto a una cierta cantidad de cálculos, de los cuales creo que son bastante tediosos, es bastante esperable que algunos errores penetren en los argumentos anteriores. Por lo tanto, si hay algunos errores, por favor dígame. Gracias de antemano.