Encuentra la distribución de $ N = \min \left\ {k: \prod_ {i = 1}^{k}U_i \lt .6 \right\ }. $

Question

Estoy cruzando esto de matemáticas. SE porque no está recibiendo ningún amor por allí. Sin embargo, si eso se considera herejía, puedo borrar la publicación de allí.

La declaración del problema:

Deje que $ \{ U_i \}$ ser un conjunto (¿secuencia?) de variables iid aleatorias tales que $U_i \sim \text {Uniform}(0,1)$ y definir

$$ N(a) = \min \left\ {k: \prod_ {i = 1}^{k}U_i \lt .6 \right\ }. $$

Encuentra la distribución de $N$ .

SOLUCIÓN

Recuerde que $- \log (U) \sim \text {Expo}(1)$ . De esto se deduce que

$$N(a) = \min \left\ {k: \prod_ {i = 1}^{k}U_i \lt .6 \right\ } = \min \left\ {k: \sum_ {i = 1}^{k} \left [ - \log ( U_i ) \right ] \gt \log \left ( \frac {5}{3} \right ) \right\ } = \min \left\ {k: S_k \gt \log \left ( \frac {5}{3} \right ) \right\ } $$

donde $S_k$ es la hora de llegada de la $k$ el evento de un proceso de Poisson con tasa $ \lambda = 1$ . Entiendo todo esto. Más allá de este punto es donde me confundo...

Ahora, se deduce (aparentemente) que el más pequeño $k$ de tal manera que $S_k \gt \log \left ( \frac {5}{3} \right )$ es

$$ N \left ( \log \left [ \frac {5}{3} \right ] \right ) + 1 \qquad (*) $$

que se distribuye como $ \text {Poisson}{ \left ( \log \frac {5}{3} \right ) } + 1$ .

No estoy seguro de lo que significa este tipo de parámetro de "superíndice" aquí (estoy transcribiendo esto de notas manuscritas). Por lo que puedo decir, es sólo un parámetro normal. De todos modos, no tengo ni idea de dónde está el resultado $(*)$ viene, y me han estado devanando el cerebro aquí tratando de averiguarlo. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

La toma de registros de ambos lados es inteligente. Aquí, sólo por diversión ... es un enfoque más de fuerza bruta ...

Deje que $X_i \sim \text {Uniform}(0,1)$ y dejar que $Y = \prod_ {i = 1}^{k}X_i$ denotan el producto de $k$ uniformes independientes. Entonces, el pdf de $Y$ digamos $h(y)$ se puede demostrar (usé el método de inducción) que es:

Buscamos $P(Y<.6)$ . Más en general, para el parámetro $a$ el $P(Y<a)$ es:

donde estoy usando el Prob función de la mathStatica paquete para Mathematica para automatizar los detalles, y Gamma[k,z] es la función gamma incompleta $ \Gamma (k,z)= \int _z^{ \infty } t^{k-1} e^{-t} d t$ .

Aquí hay una trama de la solución $P(Y<.6)$ en función de $k$ :

Dado el cdf sol arriba, podemos derivar el correspondiente pmf (en $k$ ) evaluando $ \text {sol}(k) - \text {sol}(k-1)$ que produce el pmf $f(k)$ :

$$f(k) = \frac {a}{(k-1)!} (- \log (a))^{k-1} \quad \text {for } k = 1,2,3, \dots $$

Nótese que esto tiene, en efecto, la forma de Poisson $ \frac {e^{- \lambda } \lambda ^x}{x!}$ donde $ \lambda = - \log (a)$ y $x = k-1$ .

Aquí hay un gráfico de la correspondiente pmf $f(k)$ (de nuevo cuando $a = .6$ ):