Ejemplos de proyecciones canónicas que no son epimorfismos e inyecciones canónicas que no son

Question

Aunque en $\mathsf{Set}$, canónica de las proyecciones de un producto son surjective y canónica inyecciones para un subproducto son, de hecho, inyecciones, no parece haber nada obligando a este a ser el caso en otros lugares, y, de hecho, la Wikipedia indica que sin la prueba de que ellos no tienen que ser épico/monic. Por desgracia, soy un rango principiante y no han aún a sabiendas de leer acerca de una categoría menos rica en monomorphisms y epimorphisms de $\mathsf{Set}$ (a pesar de que Aluffi ya ha introducido un par de ejemplos que son más ricos en ellos), así que no sé donde encontrar un contraejemplo. Cualquier sugerencias?

Para aclarar: estoy buscando canónica que las inyecciones de co-productos que no son monomorphisms y/o canónica de las proyecciones de los productos que no son epimorphisms.

Answer 1

Tome una categoría que se vea así:$X \leftarrow P \rightarrow Y \rightrightarrows Z$. Tiene cuatro objetos,$X,Y,Z,P$, los únicos morfismos de no identidad son los que indiqué (hay cuatro) y los dos compuestos$P \to Y \to Z$ que son iguales. $P$ es claramente el producto de$X$ y$Y$. Pero la proyección$P \to Y$ no es un epimorfismo.

Lo contrario de esta categoría da un contraejemplo para inyección.