Estoy atascado en cómo demostrar la siguiente pregunta:
Deja que $a,b,d \in \mathbb Z$. Ahora supongamos que $d\mid ab$. Demuestra que existen $e,f \in \mathbb Z$ tales que $d=ef$ y $e\mid a$ y $f\mid b$.
Gracias por tu ayuda.
Tomamos $e=\gcd(d,a)$; por definición, este es un factor de $d$ y así $d=ef$ para algún $f$. También es cierto por definición que $e\mid a$, por lo que queda por mostrar que $f\mid b.
Tenemos $ef\mid ab$, por lo que $$f\ \Big|\ \frac aeb\ ;$$ también $$\gcd\Bigl(f,\frac ae\Bigr)=\gcd\Bigl(\frac de,\frac ae\Bigr) =\frac1e\gcd(d,a)=1\ ;$$ y así $$f\mid b$$ como se requiere.
Dado que incluiste la etiqueta "álgebra abstracta", permíteme decir algunas palabras sobre tu pregunta. Tal vez aún no has estudiado teoría de anillos, pero pienso que es una buena idea estar expuesto a algunas definiciones que te muestren cómo el álgebra abstracta se trata fundamentalmente de generalizar estructuras numéricas conocidas.
El resultado que deseas mostrar puede formularse como "demostrar que $\Bbb Z$ es un dominio de Riesz". Puede que te preguntes: ¿qué diablos es un dominio de Riesz?
Bueno, un dominio de Riesz es un tipo específico de dominio integral. No definiré qué es un dominio integral porque puedes buscarlo en Google o revisar las notas de clase o libros que estés utilizando para tu curso de álgebra abstracta.
Ahora, lo importante, la definición de dominio de Riesz. Sea $D$ un dominio integral. Decimos que $D$ es un dominio de Riesz si para cualquier $a,b,d\in D$ tales que $d\mid ab$, entonces existen $e,f\in D$ tales que $d=ef$ y $e\mid a$, $f\mid b.
Como puedes notar, estoy usando las mismas variables exactas que utilizaste en tu pregunta porque quiero enfatizar, como dije anteriormente, que lo que quieres demostrar es que $\Bbb Z$ es un dominio de Riesz.
Ahora, ¿qué pasa con los dominios de Riesz? Bueno, se puede probar que los dominios de Riesz están relacionados con los dominios de factorización única (DFU) y pueden servir para caracterizarlos. Y así, surge otra pregunta: ¿qué es un dominio de factorización única?
Puedes tener una pista si piensas en las palabras "único" y "factorización" y luego tal vez recuerdas el teorema fundamental de la aritmética (TFA) sobre la "factorización única de los enteros positivos". De hecho, resulta que la noción de DFU es una forma de llamar al tipo de dominios integrales que tienen una versión análoga del TFA. Digo análoga porque no hay exactamente una "factorización única", sino más bien una "factorización única salvo unidades". Además, los DFUs son importantes porque hay nociones análogas de máximo común divisor (mcd), mínimo común múltiplo (mcm) y algunas otras propiedades agradables que tenemos en $\Bbb Z$.
Esto nos lleva a que todo DFU es un dominio de Riesz y en realidad, un dominio integral $D$ es un DFU si y solo si es un dominio de Riesz más alguna otra propiedad... (recuerda que dije que los dominios de Riesz se pueden usar para caracterizar DFUs). Aunque todavía hay mucho que decir sobre los DFUs y su relación con los dominios de Riesz, dejemoslo aquí.
Así que volvamos a tu problema. ¿Cómo podemos demostrar que $\Bbb Z$ es un dominio de Riesz? Un enfoque es utilizar los mcds en $\Bbb Z$, y este es el camino que David demostró en su respuesta anterior que $\Bbb Z$ es un dominio de Riesz. De hecho, ¡lo que David demostró es que un DFU es un dominio de Riesz! ¡Genial, verdad?
Sin duda sabes que en $\Bbb Z$ hay algo llamado "algoritmo euclidiano". Y también puedes saber que el algoritmo euclidiano se usa para demostrar que dos enteros, digamos $n$ y $m$ tienen un mcd en $\Bbb Z$.
Ahora nos preguntamos si hay otra forma de usar el algoritmo euclidiano de $\Bbb Z$ para demostrar que $\Bbb Z$ es un dominio de Riesz. Bueno, ciertamente la hay. ¡Increíble!, ¿verdad? Pero primero necesitamos reformular lo que queremos demostrar.
Si $d\mid ab$, entonces por definición hay un entero $c$ tal que $ab=cd$.
Probaremos (el resultado aparentemente más fuerte $^*$) que bajo la última condición, existen cuatro números $e,f,g,h$ tales que $a=ge, b=hf, c=gh$ y $d=ef$. Este resultado se conoce como "el lema de los cuatro números".
Prueba (Lászlo Kalmar): Para demostrar el resultado anterior, primero probaremos el resultado para enteros positivos. Si $a=1$ tenemos $b=cd$, por lo que podemos tomar los números $g=e=1$, $h=c$ y $f=d$. Ahora, supongamos que el lema es cierto para cada entero positivo menor que $a$. Aplicando el algoritmo de división de Euclides a $d$ y $b$, podemos encontrar enteros positivos $q,r$ tales que $d=bq+r$. Reemplazando obtenemos $$ab=c(bq+r)=bcq+cr$$ $$\implies b(a-cq)=cr.$$
Dado que $a-cq
Si alguno de $a,b,c$ y $d$ es cero, el resultado es trivialmente verdadero, y si al menos uno de $a$ y $b$ es negativo, entonces al menos de $c$ y $d$ deben ser negativos. Finalmente, observemos que $(-a)b=a(-b)=(-c)d=c(-d)$, por lo que podemos usar lo que acabamos de probar para enteros positivos para tratar con enteros arbitrarios (te dejo la verificación de eso). ¡Así que estamos hechos!
Ahora estamos listos para finalizar tu problema. Hasta ahora hemos demostrado que existen $g,e,f,h\in \Bbb Z$ tales que $a=ge, b=hf$ y $d=ef$, por lo tanto claramente $e\mid a$ y $f\mid b$ y hemos terminado de nuevo.
(*) De hecho, el lema de los cuatro números siendo verdadero en $\Bbb Z$ es equivalente a $\Bbb Z$ siendo un dominio de Riesz.
(**) Para obtener más información sobre esta propiedad de $\Bbb Z$ de ser un dominio de Riesz y cómo está relacionada con el TFA, puedes consultar esta respuesta, así como las referencias dadas allí. De especial importancia es el libro mencionado en la referencia 1 en el enlace anterior, porque en ese libro podemos encontrar una prueba geométrica (sí, dije geométrica) del lema de los cuatro números.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
