Diferencial de Frechet en espacios$L^\infty$

Question

define$L :L^\infty([0,1]) \to L^\infty([0,1])$,$f \to \cos f$.

Demuestre que este operador no es diferenciable de Frechet en$f = 0$.

Mi idea era simplemente utilizar la expansión de taylor:$$\cos (f+h) = \cos f + h \sin f + \mathcal{o}(\|h\|) $ $ para concluir que la derivada está dada por$L'(f)(h)=h \sin f$. ¿Es esto correcto? Gracias por cualquier pista.

Answer 1

Me podría estar perdiendo algo, pero desde

ps

y$$\cos h(t) = 1 - h(t)^2/2 + O(\|h\|_\infty^4)$ me parece que$1 = \cos 0,$

Answer 2

$L$ es diferenciable en$f=0$ porque, tomando$A=0$, tenemos

$\lim_{\space \|h\| \rightarrow 0} \frac{\|\cos(h)-1-A(h)\|}{\|h\|}=\lim_{\space \|h\| \rightarrow 0} \frac{\|\cos(h)-1\|}{\|h\|}=0.$